Question

如圖，正方形ABCD中，P是直線CD上一動(dòng)點(diǎn)（不與C、D重合），過BC邊的中點(diǎn)E作直線EF⊥BP于F，直線EF交直線AB于H，過A作AQ⊥EF于Q．如圖①，當(dāng)點(diǎn)H在BA上時(shí)，易證：AQ+BF=2EF．
（1）當(dāng)點(diǎn)H在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖②，猜想AQ、BF、EF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）當(dāng)點(diǎn)H在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖③，請(qǐng)直接寫出AQ、BF、EF之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）可過A點(diǎn)作AM∥HE交BC于M點(diǎn)，交BF于N點(diǎn)，很容易證明△ABN和△BEF相似，也很容易證AQ=NF，問題就可以證明．
（2）AQ、BF、EF滿足AQ-BF=2EF，也可通過作輔助線得到結(jié)論．

解答：解：（1）BF-AQ=2EF．
過A點(diǎn)作AM∥HE交BC于M點(diǎn)，交BF于N點(diǎn)．
∵∠PBC+∠ABP=90°，∠BAM+∠ABP=90°，
∴∠PBC=∠BAM．
∵∠ANB=∠EFB=90°．
∴△BEF∽△ABN．
∴

AB

BE

=

BN

EF

=2．
∵AQ=NF，
∴BN=BF-AQ．
∴BF-AQ=2EF．

（2）AQ-BF=2EF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正方形的性質(zhì)，正方形的四邊相等，四個(gè)角都是直角，根據(jù)正方形的性質(zhì)作出輔助線很容易證明兩個(gè)三角形相似，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可求解．