如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,P為邊AC上一個(gè)點(diǎn)(可以包括點(diǎn)C但不包括點(diǎn)A),以P為圓心PA為半徑作⊙P交AB于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作⊙P的切線交邊BC于點(diǎn)E.
(1)求證:BE=DE;
(2)若PA=1,求BE的長(zhǎng);
(3)在P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中,請(qǐng)直接寫出線段BE長(zhǎng)度的取值范圍為______.

【答案】分析:(1)首先得出∠BDE+∠PDA=90°,進(jìn)而得出∠B+∠A=90°,利用PD=PA得出∠PDA=∠A進(jìn)而得出答案;
(2)利用勾股定理得出ED2+PD2=EC2+CP2=PE2,求出BE即可;
(3)分別根據(jù)當(dāng)D點(diǎn)在A點(diǎn)時(shí)以及當(dāng)P與C重合時(shí),求出BE的長(zhǎng),進(jìn)而得出BE的取值范圍.
解答:(1)證明:如圖1,連接PD.
∵DE切⊙O于D.
∴PD⊥DE.
∴∠BDE+∠PDA=90°.
∵∠C=90°.
∴∠B+∠A=90°.
∵PD=PA.
∴∠PDA=∠A.
∴∠B=∠BDE.∴BE=DE;

(2)解:如圖1,連接PE,設(shè)DE=BE=x,則EC=4-x.
∵PA=PD=1,AC=3.∴PC=2.
∵∠PDE=∠C=90°,
∴ED2+PD2=EC2+CP2=PE2
∴x2+1=(4-x)2+2.
解得x=
∴BE=;

(3)解:如圖2,當(dāng)D點(diǎn)在A點(diǎn)時(shí),
∵BE=ED,設(shè)BE=ED=x,則EC=4-x,
∴EC2+AC2=AE2,
∴(4-x)2+32=x2,
解得:x=,
如圖3,當(dāng)P與C重合時(shí),
∵BE=ED,設(shè)BE=ED=x,則EC=4-x,
∴EC2=DC2+DE2,
∴(4-x)2=32+x2,
解得:x=
∵P為邊AC上一個(gè)點(diǎn)(可以包括點(diǎn)C但不包括點(diǎn)A),
∴線段BE長(zhǎng)度的取值范圍為:≤BE<
故答案為:≤BE<
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及切線的性質(zhì)與判定以及勾股定理等知識(shí),利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論的思想得出是解題關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•莆田質(zhì)檢)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E是AB上一點(diǎn),以AE為直徑的⊙O過點(diǎn)D,且交AC于點(diǎn)F.
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)若CD=6,AC=8,求AE.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,AD和BD分別是∠BAC和∠ABC的平分線,它們相交于點(diǎn)D,求點(diǎn)D到BC的距離.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=1,將三角板中一個(gè)30°角的頂點(diǎn)D放在AB邊上移動(dòng),使這個(gè)30°角的兩邊分別與△ABC的邊AC、BC相交于點(diǎn)E、F,且使DE始終與AB垂直.
(1)畫出符合條件的圖形.連接EF后,寫出與△ABC一定相似的三角形;
(2)設(shè)AD=x,CF=y.求y與x之間函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域;
(3)如果△CEF與△DEF相似,求AD的長(zhǎng).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在Rt△ABC中,BD⊥AC,sinA=
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,則cos∠CBD的值是( 。

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8cm,BC=4cm,D、E分別為邊AB、BC的中點(diǎn),連接DE,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿折線AD-DE-EB運(yùn)動(dòng),到點(diǎn)B停止.點(diǎn)P在AD上以
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cm/s的速度運(yùn)動(dòng),在折線DE-EB上以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合時(shí),過點(diǎn)P作PQ⊥AC于點(diǎn)Q,以PQ為邊作正方形PQMN,使點(diǎn)M落在線段AC上.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s).
(1)當(dāng)點(diǎn)P在線段DE上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段DP的長(zhǎng)為
(t-2)
(t-2)
cm,(用含t的代數(shù)式表示).
(2)當(dāng)點(diǎn)N落在AB邊上時(shí),求t的值.
(3)當(dāng)正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形時(shí),設(shè)五邊形的面積為S(cm2),求S與t的函數(shù)關(guān)系式.

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