Question

如圖，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D交⊙O于E，則下列說法中：①AD=BD；②∠ACB=∠AOE；③AE=BE；④OD=DE，其中正確的序號有________．

Answer 1

①②③
分析：由AB為圓的直徑，且與OD垂直，根據(jù)垂徑定理得到D為AB中點(diǎn)，且E為弧AB的中點(diǎn)，即弧AE等于弧BE，由D為AB中點(diǎn)得到AD=BD，故選項(xiàng)①正確；由等弧對等弦得到AE=BE，故選項(xiàng)③正確；再由等弧對等角得到∠AOE=∠BOE=∠AOB，又根據(jù)同弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半，得到∠ACB=∠AOB，等量代換即可得到∠ACB=∠AOE，故選項(xiàng)②正確；若OD=DE，即可得到OD等于半徑OA的一半，根據(jù)直角三角形中一直角邊等于斜邊的一半，這條直角邊所對的角為30°，而原題沒有此條件，故選項(xiàng)④錯誤．
解答：∵AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D交⊙O于E，
∴D為AB的中點(diǎn)，且=，
∴AD=BD，選項(xiàng)①正確；
∴AE=BE（等弧對等弦），選項(xiàng)③正確；
∵=，
∴∠AOE=∠BOE=∠AOB，
又∵圓心角∠AOB和圓周角∠ACB都對，
∴∠ACB=∠AOB，
∴∠AOE=∠ACB，選項(xiàng)②正確；
若OD=DE，得到OD=OE=OA，又△ADO為直角三角形，
∴∠OAD=30°，題中沒有此條件，選項(xiàng)④錯誤，
綜上，正確的選項(xiàng)有①②③．
故答案為：①②③
點(diǎn)評：此題考查了垂徑定理，以及圓周角定理，垂徑定理可理解為：如果一條直線滿足：過圓心、平分弦、垂直弦、平分優(yōu)弧、平分劣弧這五個結(jié)論中的任兩個，其余三個結(jié)論一定成立，對圓周角和圓心角進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換是處理圓周角、圓心角問題時(shí)常用的方法，同時(shí)注意同圓或等圓中，弧、弦及圓心角，若一組對應(yīng)量相等，其余兩對對應(yīng)量也相等．