Question

已知Rt△ABC和Rt△DEF按如圖①擺放（點(diǎn)C與點(diǎn)E重合），點(diǎn)B、C（E）、F在同一條直線上．∠ACB=∠EDF=90°，∠F=∠B=45°，AC=8cm，CF=10cm．如圖②，△DEF從圖①的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動(dòng)，在△DEF移動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)P從△ABC的頂點(diǎn)B出發(fā)，以

3

2

2

cm/s的速度沿BA向點(diǎn)A勻速移動(dòng)．當(dāng)△DEF的頂點(diǎn)D移動(dòng)到AC邊上時(shí)，△DEF停止移動(dòng)，點(diǎn)P也隨之停止移動(dòng)．DE與AC相交于點(diǎn)Q，連接PQ，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t≤5）．解答下列問題：
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)A在線段PQ的垂直平分線上（結(jié)果精確到個(gè)位）？
（2）連接PE，四邊形APEC的面積為S，用含有t的數(shù)學(xué)表達(dá)式表示S．當(dāng)t為何值時(shí)，S的值為23；
（3）當(dāng)t=

4

，面積S最小，S的最小值是

20

．（提示：參考配方法）

Answer 1

分析：（1）由條件可以得出AC=8

2

，當(dāng)AP=AQ時(shí)由題意可以得出以AP=8

2

-

3

2

2

t，AQ=8-t，從而建立等兩關(guān)系就可以求出t值．
（2）作PG⊥BC于G，則PG=

3

2

t，BE=8-t，S=S_△ABC-S_△PBE，就可以用t表示出S，把S=23代入解析式就可以求出t值．
（3）將（2）的解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，就求出了t值和S的最小值．

解答：解：（1）∵∠ACB=∠EDF=90°，∠F=∠B=45°，
∴∠A=∠DEF=∠EQC=45°，
∴∠A=∠B=∠DEF=∠F=∠EQC，
∴AC=BC=8，DE=DF，QC=EC．
在Rt△ABC和Rt△DEF中，由勾股定理，得
AB=8

2

，DE=DF=5

2

．
∵PB=

3

2

2

t，
∴AP═8

2

-

3

2

2

t，
∵EC=t，
∴CQ=t，
∴AQ=8-t，
∴8

2

-

3

2

2

t=8-t，
解得：t≈3．
（2）作PG⊥BC于G，且∠B=45°
∴PG=BG，
∵PB=

3

2

2

t，由勾股定理，得
PG=

3

2

t，
∵CE=t，
∴BE=8-t．
∴S△BPE=

3 2 t(8-t)

2

=-

3

4

t²+6t，
S=

8×8

2

-（-

3

4

t²+6t），
=

3

4

t²-6t+32
當(dāng)S=23時(shí)，23=

3

4

t²-6t+32，
解得t=2或6，
∵0＜t≤5，
∴t=2．
（3）∵S=

3

4

t²-6t+32
∴S=

3

4

（t-4）²+20
∴t=4時(shí)，S最小=20．
故答案為：4，20．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，三角形的面積的運(yùn)用，二次函數(shù)的最值的運(yùn)用等知識(shí)點(diǎn)．