Question

（2011•鞍山）如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，平行四邊形的頂點C的坐標為（8，8），頂點A的坐標為（-6，0），邊AB在x軸上，點E為線段AD的中點，點F在線段DC上，且橫坐標為3，直線EF與y軸交于點G，有一動點P以每秒1個單位長度的速度，從點A沿折線A-B-C-F運動，當點P到達點F時停止運動，設點P運動時間為t秒．
（1）求直線EF的表達式及點G的坐標；
（2）點P在運動的過程中，設△EFP的面積為S（P不與F重合），試求S與t的函數關系式；
（3）在運動的過程中，是否存在點P，使得△PGF為直角三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據點C的坐標可求出點F的縱坐標，結合題意可得出點F的坐標，過點E作EH⊥x軸于點H，利用△AHE∽△AOD，可求出點E的坐標，從而利用待定系數法可確定直線EF的解析式，令x=0，可得出點G的坐標．
（2）延長HE交CD的延長線于點M，討論點P的位置，①當點P在AB上運動時，②當點P在BC邊上運動時，③當點P在CF上運動時，分別利用面積相減法可求出答案．
（3）很明顯在BC上存在兩個點使△PGF為直角三角形，這兩點是通過①過點G作GP⊥EF，②過點F作FP⊥EF得出來的．

解答：解：（1）∵C（8，8），DC∥x軸，點F的橫坐標為3，
∴OD=CD=8．
∴點F的坐標為（3，8），
∵A（-6，0），
∴OA=6，
∴AD=10，
過點E作EH⊥x軸于點H，
則△AHE∽△AOD．
又∵E為AD的中點，
∴

AH

AO

=

AE

AD

=

EH

DO

=

1

2

．
∴AH=3，EH=4．
∴OH=3．
∴點E的坐標為（-3，4），
設過E、F的直線為y=kx+b，
∴

3k+b=8 -3k+b=4

∴

k= 2 3 b=6

∴直線EF為y=

2

3

x+6，
令x=0，則y=6，即點G的坐標為（0，6）．

（2）延長HE交CD的延長線于點M，
則EM=EH=4．
∵DF=3，
∴S_△DEF=

1

2

×3×4=6，
且S_{平行四邊形ABCD}=CD•OD=8×8=64．
①當點P在AB上運動時，如圖3，
S=S_{平行四邊形ABCD}-S_△DEF-S_△APE-S_{四邊形PBCF}．
∵AP=t，EH=4，
∴S_△APE=

1

2

×4t=2t，
S_{四邊形PBCF}=

1

2

（5+8-t）×8=52-4t．
∴S=64-6-2t-（52-4t），
即：S=2t+6．
②當點P在BC邊上運動時，
S=S_{平行四邊形ABCD}-S_△DEF-S_△PCF-S_{四邊形ABPE}．
過點P作PN⊥CD于點N．
∵∠C=∠A，sin∠A=

OD

AD

=

4

5

，
∴sin∠C=

4

5

．
∵PC=18-t，
∴PN=PC•sin∠C=

4

5

（18-t）．
∵CF=5，
∴S_△PCF=

1

2

×5×

4

5

（18-t）=36-2t．
過點B作BK⊥AD于點K．
∵AB=CD=8，
∴BK=AB•sin∠A=8×

4

5

=

32

5

．
∵PB=t-8，
∴S_{四邊形ABPE}=

1

2

（t-8+5）×

32

5

=

16

5

t-

48

5

．
∴S=64-6-（36-2t）-（

16

5

t-

48

5

），
即　S=-

6

5

t+

158

5

．（8分）
③當點P在CF上運動時，
∵PC=t-18，
∴PF=5-（t-18）=23-t．
∵EM=4，
∴S_△PEF=

1

2

×4×（23-t）=46-2t．
綜上：S=

2t+6，(0≤t＜8) 6 5 t + 158 5 ，(8≤t＜18) 46-2t．(18≤t＜23)

（3）存在．
P₁（

52

17

，

24

17

）．
P₂（

91

17

，

76

17

）．

點評：此題考查了一次函數的綜合應用，綜合了平行四邊形、待定系數法及直角三角形的性質，難度較大，關鍵是仔細審題，理解每一問要求的問題，對于第二問要分類討論點P的位置，不要遺漏．