Question

如圖，長(zhǎng)為2，寬為a的矩形紙片（1＜a＜2），剪去一個(gè)邊長(zhǎng)等于矩形寬度的正方形（稱為第一次操作）；
（1）第一次操作后剩下的矩形長(zhǎng)為a，寬為

2-a

；
（2）再把第一次操作后剩下的矩形剪去一個(gè)邊長(zhǎng)等于此時(shí)矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）；如此反復(fù)操作下去．
①求第二次操作后剩下的矩形的面積；
②若在第3次操作后，剩下的圖形恰好是正方形，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由圖可知，第一次操作后剩下的矩形長(zhǎng)為：原矩形的長(zhǎng)-原矩形的寬，即為：2-a；
（2）①求出二次操作后剩下的矩形的邊長(zhǎng)，利用矩形的面積公式=長(zhǎng)×寬即可；
②本小題要根據(jù)a的求值范圍不同進(jìn)行討論，求出滿足題意的a值即可．

解答：解：（1）由圖可知，第一次操作后剩下的矩形長(zhǎng)為：原矩形的長(zhǎng)-原矩形的寬，即為：2-a
故答案為：2-a；

（2）①因?yàn)榈诙�次操作后剩下的矩形的邊長(zhǎng)分別為：2-a，2a-2，
∴面積為：（2-a）（2a-2）=-2a²+6a-4，
②當(dāng)2-a＞2a-2，a＜

4

3

時(shí)，2-a=2（2a-2），
 解得：a=

6

5

；
當(dāng)2-a＜2a-2，a＞

4

3

時(shí)，2（2-a）=2a-2，
解得：a=

3

2

；
綜合得a=

6

5

或

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)以及正方形、矩形的面積公式以及分類討論思想在幾何題目中的運(yùn)用．