Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，⊙O是以BC為直徑的圓，點P在AD邊上運動（不與A，D重合），BP交⊙O于Q，連接CQ．
（1）設(shè)線段BP的長為xcm，CQ的長為ycm．求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式和自變量x的取值范圍；
（2）求當

PB

CQ

=

5

6

時，△APB的外接圓及內(nèi)切圓的面積．（π≈3.14，

10

≈3.16，

8

≈2.83．結(jié)果精確到1cm²）

Answer 1

分析：（1）因為BC是圓的直徑，所以△BCQ是直角三角形，Rt△ABP和Rt△QCB相似．再利用對應(yīng)邊成比例就可以得到函數(shù)關(guān)系．
（2）結(jié)合（1）先求出PB的長度，PB就是外接圓的直徑，再利用Rt△ABP求出AP的長度，根據(jù)△ABP的面積就可以求出內(nèi)切圓的半徑，面積也就可以求出了．

解答：解：（1）∵BC是圓的直徑，∴∠BQC=90°．
∵∠ABP+∠PBC=90°，∠BCQ+∠PBC=90°．
∴∠ABP=∠BCQ．
在△ABP和△QCB中

∠A=∠BQC=90° ∠ABP=∠BCQ

∴△ABP∽△QCB．
∴

CQ

AB

=

BC

PB

，即

y

6

=

8

x

．
∵點P在AD邊上運動，BD=

62+82

=10，
∴函數(shù)關(guān)系式為y=

48

x

．（6＜x＜10）；

（2）∵

PB

CQ

=

5

6

，∴CQ=

6

5

PB．
∴

48

PB

=

6PB

5

，解得PB=2

10

．
AP=

PB2-AB2

=2．
外接圓的面積S=π（

2 10

2

）²=10π≈31cm²．
設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，則根據(jù)三角形面積有（6+2+2

10

）r=6×2．
解得r=4-

10

．
所以內(nèi)切圓的面積S=π（4-

10

）²=（26-8

10

）π≈2cm²．

點評：本題考查點較多，運用三角形相似得到對應(yīng)邊成比例從而得到函數(shù)關(guān)系式．