Question

如圖所示，已知拋物y=ax²+bx+c與x軸負(fù)半軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且OB=，CB=，∠CAO=30°，求拋物線的解析式和它的頂點坐標(biāo)．

Answer 1

解：連BC，如圖，
∵OB=，CB=，
∴OC==3，
∴B點坐標(biāo)為（-，0），C點坐標(biāo)為（0，3）
在Rt△AOC中，∠CAO=30°，
∴OA=OC=3，
∴A點坐標(biāo)為（-3，0），
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+3）（x+），
把C（0，3）代入得a（0+3）（0+）=3，
∴a=，
∴拋物線的解析式為y=（x+3）（x+）=x²+x+3；
∵y=（x+2）²-1，
∴拋物線的頂點坐標(biāo)為（-2，-1）．
分析：先根據(jù)勾股定理得到OC=3，則B點坐標(biāo)為（-，0），C點坐標(biāo)為（0，3），利用含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得到OA=OC=3，則A點坐標(biāo)為（-3，0），然后設(shè)拋物線的交點式為y=a（x+3）（x+），把C（0，3）代入可求得a=，則拋物線的解析式為y=（x+3）（x+）=x²+x+3；然后配成頂點式為y=（x+2）²，-1，即可得到拋物線的頂點坐標(biāo)為（-2，-1）．
點評：本題考查了拋物線的交點式：若拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為（x₁，0）、（x₂，0），則拋物線的解析式為y=a（x-x₁）（x-x₂）．也考查了含30°的直角三角形三邊的關(guān)系以及拋物線的頂點式．