Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AD=3cm，DC=15cm，BC=24cm．點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿A→D→C方向以1cm/s的速度向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，沿C→B方向以2cm/s的速度向終點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)．在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△APQ的面積為S（cm²），點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．
（1）當(dāng)t=2（s），t=4（s），t=16（s）時(shí)，求S的值；
（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）試確定當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ的面積S=27cm²；
（4）當(dāng)點(diǎn)P在AD上，當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ是直角三角形．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形的面積公式和梯形的面積公式就可以分別求出t=2（s），t=4（s），t=16（s）時(shí)S的值；
（2）分三種情況如圖1，圖2，圖3分別由三角形與梯形的面積公式就可以求出結(jié)論；
（3）將S=27分別代入解析式就可以求出結(jié)論；
（4）分兩種情況如圖4、圖5建立方程就可以求出結(jié)論．

解答：解：（1）當(dāng)t=2時(shí)，
S=

2×15

2

=15；
當(dāng)t=4時(shí)，
S=

(3+8)×15

2

-

3×1

2

-

14×8

2

=25；
當(dāng)t=16時(shí)，
S=

(3+24)×15

2

-

3×13

2

-

2×24

2

=159

（2）如圖1，當(dāng)0＜t≤3時(shí)，
S=

15t

2

；
如圖2，當(dāng)3＜t≤12時(shí)
S=

15(3+2t)

2

-

3(t-3)

2

-

2t(18-t)

2

，
=t²-

9

2

t+27；
如圖3，當(dāng)12＜t≤18時(shí)，
S=

(3+24)15

2

-

3(t-3)

2

-

24(18-t)

2

，
=

21

2

t-9．

（3）由題意，得
當(dāng)

15t

2

=27時(shí)，
t=

18

5

＞3（舍去），
當(dāng)t²-

9

2

t+27=27時(shí)，
解得：t₁=0（舍去），t₂=

9

2

當(dāng)

21

2

t-9=27時(shí)，
解得：t=

24

7

＜12（舍去），
∴t=

9

2

時(shí)，△APQ的面積S=27cm²；

（4）如圖4，當(dāng)∠APQ=90°時(shí)
3-t=2t，
∴t=1，
如圖5，當(dāng)∠PAQ=90°時(shí)
2t=3，
∴t=

3

2

．
∴當(dāng)點(diǎn)P在AD上，當(dāng)t=1或

3

2

時(shí)，△APQ是直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形、梯形的面積公式的運(yùn)用，分段函數(shù)的運(yùn)用，由函數(shù)值確定自變量的值的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)求出二次函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．