Question

如圖，已知△ABC中，AB=10，BC=8，AC=6，以BC為直徑作⊙O，交AB邊于點D，過點D作DF⊥BC，垂足為F，E為AC中點，連接DE．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）求DF的長；
（3）在BC上是否存在一點P，使DP+EP最小？若存在，求出點P的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）連接OD，

∵BC是直徑，
∴∠CDB=90°，也可得出∠CDA=90°，
又∵點E是AC的中點，
∴ED=EC=EA，
∴∠ECD=∠EDC，
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC，
又∵∠ECD+∠OCD=90°，
∴∠EDC+∠ODC=90°，
∴OD⊥ED，
故DE是⊙O的切線．
（2）∵AB=10，BC=8，AC=6，
∴AC²+BC²=AB²，
∴∠BCA=90°，
∵∠B=∠B，∠BDC=∠BCA=90°，
∴△BCD∽△BAC，
∴=，即=，
解得：BD=，
又∵∠B=∠B，∠BFD=∠BCA=90°，
∴△BDF∽△BAC，
∴=，即=，
解得：DF=．
（3）

∵∠DCF=∠BAC，∠DFC=∠BDC=90°，
∴△BAC∽△DCF，
∴=，即=，
解得：CF=，
∵∠BCA=∠CFD'=90°，∠EPC=∠D'PF，
∴△ECP∽△D'FP，
從而=，即==，
又∵CP+FP=CP=，
∴CP=．即點P的位置在距離C點右方遠處．
分析：（1）連接DE，則可得ED=EA=EC，從而可得∠ECD=∠EDC，再由OC=OD，可得∠OCD=∠ODC，結合∠ECD+∠OCD=90°可證明OD⊥ED，繼而可得出結論；
（2）根據(jù)△BCD∽△BAC，可得出BD的長度，然后根據(jù)△BDF∽△BAC，可求出DF的長度．
（3）延長DF交圓O于點H，連接ED'，則ED'與BC的交點即是點P的位置，然后求出CF，結合△ECP∽△D'FP可求出CP的長度．
點評：本題屬于圓的綜合題，涉及了相似三角形的判定與性質、勾股定理的逆定理、軸對稱求最短路徑的問題，綜合性較強，難度較大，解答本題的關鍵是熟練各個知識點的內容，將所學的知識融會貫通．