Question

AD，BE，CF是銳角△ABC的三條高．從A引EF的垂線l₁，從B引FD的垂線l₂，從C引DE的垂線l₃．求證：l₁，l₂，l₃三線共點(diǎn)．

Answer 1

證明：設(shè)l₁、l₂交于O點(diǎn)，
∵∠ADB=∠AEB=90°，
∴A、B、D、E四點(diǎn)共圓，
∴∠BED=∠BAD，
同理，由B、C、E、F四點(diǎn)共圓，得∠BEF=∠BCF，
由互余關(guān)系可知∠BAD=∠BCF，
∴∠BEF=∠BED，
又BE⊥AE，l₁⊥EF，
∴∠BEF=∠OAE，
同理可證∠BED=∠OCE，∴∠OAE=∠OCE，
∴O點(diǎn)為AC中垂線上的點(diǎn)，
設(shè)l₂、l₃交于O′點(diǎn)，
同理可證O′為BC中垂線上的點(diǎn)，
∵三角形的三邊中垂線交于一點(diǎn)（外心），
∴l(xiāng)₁，l₂，l₃三線共點(diǎn)．
分析：設(shè)l₁、l₂交于O點(diǎn)，證明O點(diǎn)為AC中垂線上的點(diǎn)，設(shè)l₂、l₃交于O′點(diǎn)，同理可證O′為BC中垂線上的點(diǎn)，根據(jù)三角形的三邊中垂線交于一點(diǎn)，可證l₁，l₂，l₃三線共點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了四點(diǎn)共圓的判定與性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．關(guān)鍵是利用四點(diǎn)共圓的性質(zhì)，互余關(guān)系推出角相等，得到等腰三角形，證明等腰三角形的頂點(diǎn)為三角形三邊中垂線上的點(diǎn)，利用外心的性質(zhì)進(jìn)行判斷．