Question

如圖，已知四邊形ABCD是正方形，點E、F、G、H分別在AB、BC、CD、和DA上，連接EG和FH．小明和小亮對這個圖形進行探索，發(fā)現(xiàn)了很多有趣的東西，同時他倆又進一步猜想：

小明說：如果EG和HF互相垂直，那么EG和HF一定相等；

小亮說：如果EG和HF相等，那么EG和HF一定互相垂直；

請你對小明和小亮的猜想進行判斷，并說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

證明：如圖，作EM⊥CD于M，HN⊥BC于N 　　∵四邊形ABCD是正方形 　　∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AB 　　∵EM⊥CD 　　∴四邊形BCME是矩形 　　∴EM＝BC 　　同理HN＝AB 　　∴EM＝HN 　　由題意可知FH⊥EG，EM⊥HN 　　∴∠FHN＋∠HOG＝∠MEG＋∠EON＝90° 　　∵∠EON＝∠HOG 　　∴∠FHN＝∠MEG 　　∴△HFN≌△EGM　5分 　　小亮的猜想是錯誤的 　　如圖，在BC上找兩個點F和，使B＝CF取AD的中點H，連接FH和H，易證HF＝H 　　作EG⊥H，其中點E在AB上，點G在CD上 　　由上題可知EG＝H＝FH 　　但HF和EG不互相垂直．　3分