Question

鐵路上AB兩點(diǎn)相距25千米，CD為兩村莊，DA垂直AB于A，CB垂直AB于B，已知DA=15千米，CB=10千米．以A點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在的直線為X軸，DA所在的直線為Y軸建立直角坐標(biāo)系．
（1）現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個(gè)收購站E，使得C、D兩村到E站的距離相等．在圖中畫出E點(diǎn)，并求出E點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）若還要在AB建一個(gè)供應(yīng)站F，使得F點(diǎn)到C、D兩村的距離之和最短．找出F點(diǎn)的位置，并求出F點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）在Rt△ADE和Rt△CBE中，根據(jù)勾股定理可求得AE的值．
（2）由題意知，點(diǎn)F是點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)與點(diǎn)C的連線與x軸的交點(diǎn)，用待定系數(shù)法求得直線的解析式后，可求得點(diǎn)F的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)AE=x，則BE=25-x，
在Rt△ADE和Rt△CBE中，x²+15²=（25-x）²+10²，解得x=10，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（10，0）．

（2）D（0，15）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是D₁（0，-15），
設(shè)直線CD₁的解析式是y=kx+b（k≠0），
則

b=-15 25k+b=10

．
解得

b=-15 k=1

．
∴y=x-15令y=0，則x=15
所以點(diǎn)F（15，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題利用了勾股定理，待定系數(shù)法求解．