Question

如圖，AB為⊙O直徑，自圓上一點(diǎn)P作AB的垂線PH，垂足為H，自點(diǎn)A向過P點(diǎn)的切線作垂線，垂足為K．求證：AH=AK．

Answer 1

分析：首先連接OP，過點(diǎn)O作OC⊥AK于點(diǎn)C，易證得四邊形OCKP是矩形，即可得CK=OP，又由△AOC≌△OPH，可得AC=OH，繼而可證得AH=AK．

解答：證明：連接OP，過點(diǎn)O作OC⊥AK于點(diǎn)C，
∴∠OCK=90°，
∵PK是⊙O的切線，AK⊥PK，
∴∠OPK=∠PKC=90°，
∴四邊形OCKP是矩形，
∴OP=CK，AK∥OP，
∴∠A=∠POH，
在△AOC和△OPH中，

∠A=∠POH ∠ACO=∠OHP=90° OA=OP

，
∴△AOC≌△OPH（AAS），
∴AC=OH，
∵AK=AC+CK，AH=OA+OH=OP+OH，
∴AH=AK．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．