Question

已知拋物線y＝ax²＋bx＋c(a≠0)與x軸交于不同的兩點A和B(4，0)，與y軸交于點C(0，8)，其對稱軸為x＝1．

(1)求此拋物線的解析式；

(2)過A、B、C三點作⊙與y軸的負半軸交于點D，求經過原點O且與直線AD垂直(垂足為E)的直線OE的方程；

(3)設⊙與拋物線的另一個交點為P，直線OE與直線BC的交點為Q，直線x＝m與拋物線的交點為R，直線x＝m與直線OE的交點為S．是否存在整數m，使得以點P、Q、R、S為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由已知，有，解得 　　∴二拋物線的解析式是y=－x2+2x＋8 　　(2)令y=0．得方程－x2＋2x＋8=0，即(x－4)(x＋2)=0． 　　∴xl=－2，x2=4．∴點A的坐標為(－2，0)． 　　在⊙中，由相交弦定理，得|OA|·|OB|=|OC|·|OD|，即2×4=8×|OD|． 　　∴|OD|=1．∵點D在y軸的負半軸上，∴點D的坐標為(0，－1)． 　　在Rt△AOD中，∵|OA|=2，|OD|=1，OE⊥AD，∴由勾股定理，有|AD|=． 　　又∵·|OA|·|OD|=·|AD|·|OE|，∴|OE|=． 　　∵|OA|2=|AE|·|AD|，即22=|AE|·．∴|AE|=． 　　同理，由|OD|2=|DE|·|AD|，得|DE|=． 　　設點E(x，y)，且x＜0，y＜0． 　　在Rt△AOE中，∵·|AE|·|OE|=·|y|·|AD|，∴|y|=． 　　∵y＜0，∴y=－，在RT△DOE中，∵·|DE|·|OE|=·|x|·|OA|，∴|x|=． 　　∵x＜0，x=．∴點E的坐標為(－，)，設直線OE的方程為y=kx(k≠0)． 　　∵直線OE經過點E(－，)，∴－＝－k，∴k=2．∴直線OE的方程為y=2x 　　(3)在⊙中，∵對稱軸x=1垂直平分弦AB，∴由垂徑定理的推論知直線x=1經過圓心． 　　∵點C(0，8)，∴由對稱性得點P的坐標為(2，8)．設直線BC的方程為y=kx＋b(k≠0)． 　　則有 　　∴ 　　∴直線BC的方程為y=2x+8．聯立方程組 　　解得 　　∴Q的坐標為(2，4)． 　　∵點P(2，8)，點Q(2，4)，∴PQ∥RS． 　　設點R的坐標為(m，－m2+2m＋8)，點S的坐標為(m，2m)． 　　要使四邊形PQRS為平行四邊形，已知PQ∥RS，尚需條件|RS|=|PQ|． 　　由|(－m2＋2m＋8)－2m|=18－4|=4，得|－m2＋8|=4．即－m2＋8=4或－m2＋8=－4． 　　由－m2＋8=4，得m=±2；由－m2＋8=－4，得m=±2．而m=2，2，－2不合題意，應舍去． 　　∴存在整數m=－2，使得以點P、Q、R、S為頂點的四邊形為平行四邊形．