Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且與軸交于點(diǎn)，連接、、.

(1)求此二次函數(shù)的關(guān)系式；

(2)判斷的形狀；若的外接圓記為，請(qǐng)直接寫(xiě)出圓心的坐標(biāo)；

(3)若將拋物線沿射線方向平移，平移后點(diǎn)、、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別記為點(diǎn)、、，的外接圓記為，是否存在某個(gè)位置，使經(jīng)過(guò)原點(diǎn)？若存在，求出此時(shí)拋物線的關(guān)系式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）直角三角形，（2，2）（3）存在，拋物線的關(guān)系式為

或

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法可直接代入得到方程組求值，得到函數(shù)的解析式；

（2）過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，然后根據(jù)角之間的關(guān)系得到是直角三角形，最后根據(jù)坐標(biāo)得到D點(diǎn)；

（3）取中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，根據(jù)勾股定理求出MC的長(zhǎng)和OM的長(zhǎng)，再通過(guò)平移的性質(zhì)得到平移的距離，然后根據(jù)二次函數(shù)的平移性質(zhì)可得到解析式.

試題解析：(1)把點(diǎn)，代入中得

，解得，

所以所求函數(shù)的關(guān)系式為.

(2)為直角三角形.

過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

易知點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以，

又因?yàn)辄c(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以，

所以，所以為直角三角形，

圓心的坐標(biāo)為.

(3)存在.

取中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

因?yàn)?/span>的坐標(biāo)為，

所以，，

所以，

又因?yàn)?/span>，

所以，

所以要使拋物線沿射線方向平移，

且使經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，

則平移的長(zhǎng)度為或，

因?yàn)?/span>，

所以拋物線的頂點(diǎn)向左、向下均分別平移個(gè)單位長(zhǎng)度，

或個(gè)單位長(zhǎng)度.

因?yàn)?/span>.

所以平移后拋物線的關(guān)系式為，

即

或，即.

綜上所述，存在一個(gè)位置，使經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，此時(shí)拋物線的關(guān)系式為

或.