(2007•眉山)如圖,矩形A′BC′O′是矩形OABC(邊OA在x軸正半軸上,邊OC在y軸正半軸上)繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的,O′點(diǎn)在x軸的正半軸上,B點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,3).
(1)如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過O,O′兩點(diǎn)且圖象頂點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為-1,求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;
(2)在(1)中求出的二次函數(shù)圖象對(duì)稱軸的右支上是否存在點(diǎn)P,使得△POM為直角三角形?若存在,請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)和△POM的面積;若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)求邊C′O′所在直線的解析式.

【答案】分析:(1)連接BO,BO′則BO=BO′,求出O′,M點(diǎn)坐標(biāo),列出方程組求出未知數(shù)的值,進(jìn)而求出二次函數(shù)的解析式;
(2)設(shè)存在滿足題設(shè)條件的點(diǎn)P(x,y)連接OM,PM,OP,過P作PN⊥x軸,求出P點(diǎn)坐標(biāo)和△POM的面積.
(3)已知O′(2,0),點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1,由相似關(guān)系求其縱坐標(biāo),用待定系數(shù)法求解析式.
解答:解:(1)連接BO,BO′,則BO=BO′
∵BA⊥OO′
∴AO=AO′
∵B(1,3)
∴O′(2,0),M(1,-1),
,
解得a=1,b=-2,c=0,
∴所求二次函數(shù)的解析式為y=x2-2x.

(2)設(shè)存在滿足題設(shè)條件的點(diǎn)P(x,y),
連接OM,PM,OP,過P作PN⊥x軸于N,則∠POM=90°
∵M(jìn)(1,-1),A(1,0),|AM|=|OA|
∴∠MOA=45°
∴∠PON=45°,
∴|ON|=|NP|即x=y
∵P(x,y)在二次函數(shù)y=x2-2x的圖象上
∴x=x2-2x
解得x=0或x=3
∵P(x,y)在對(duì)稱軸的右支上
∴x>1
∴x=3y=3即P(3,3)是所求的點(diǎn).
連接MO′,顯然△OMO′為等腰直角三角形.O′為滿足條件的點(diǎn)O′(2,0),
∴滿足條件的點(diǎn)是P(2,0)或P(3,3),
∴OP=3,OM=
∴S△POM=OP•OM=3或S△POM=OM•OM′=1;

(3)設(shè)AB與C′O′的交點(diǎn)為D(1,y)
顯然Rt△ADO′≌Rt△C′DB,
在Rt△ADO′中,AO′2+AD2=O′D2
即1+y2=(3-y)2
解得y=
∴D(1,),
設(shè)邊C'O'所在直線的解析式為y=kx+b則,
解得k=-,b=,
∴所求直線解析式為y=-x+
點(diǎn)評(píng):此題很復(fù)雜,結(jié)合了二次函數(shù),一次函數(shù)及圖形的幾何變換,解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線,結(jié)合直角三角形及全等三角形的性質(zhì)解答,難度較大.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2007年全國中考數(shù)學(xué)試題匯編《一次函數(shù)》(07)(解析版) 題型:解答題

(2007•眉山)如圖,矩形A′BC′O′是矩形OABC(邊OA在x軸正半軸上,邊OC在y軸正半軸上)繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的,O′點(diǎn)在x軸的正半軸上,B點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,3).
(1)如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過O,O′兩點(diǎn)且圖象頂點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為-1,求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;
(2)在(1)中求出的二次函數(shù)圖象對(duì)稱軸的右支上是否存在點(diǎn)P,使得△POM為直角三角形?若存在,請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)和△POM的面積;若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)求邊C′O′所在直線的解析式.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2007年四川省眉山市中考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

(2007•眉山)如圖,矩形A′BC′O′是矩形OABC(邊OA在x軸正半軸上,邊OC在y軸正半軸上)繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的,O′點(diǎn)在x軸的正半軸上,B點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,3).
(1)如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過O,O′兩點(diǎn)且圖象頂點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為-1,求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;
(2)在(1)中求出的二次函數(shù)圖象對(duì)稱軸的右支上是否存在點(diǎn)P,使得△POM為直角三角形?若存在,請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)和△POM的面積;若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)求邊C′O′所在直線的解析式.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2007年全國中考數(shù)學(xué)試題匯編《圖形的旋轉(zhuǎn)》(01)(解析版) 題型:選擇題

(2007•眉山)如圖,△ACD和△AEB都是等腰直角三角形,∠CAD=∠EAB=90°,四邊形ABCD是平行四邊形,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是( )

A.△ACE以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心,逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后與△ADB重合
B.△ACB以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心,順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)270°后與△DAC重合
C.沿AE所在直線折疊后,△ACE與△ADE重合
D.沿AD所在直線折疊后,△ADB與△ADE重合

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2007年全國中考數(shù)學(xué)試題匯編《四邊形》(07)(解析版) 題型:解答題

(2007•眉山)如圖,在線段AE的同側(cè)作正方形ABCD和正方形BEFG(BE<AB),連接EG并延長(zhǎng)交DC于M,過M(1,-1)作MN⊥AB,垂足為N,MN交BD于P.
(1)找出圖中一對(duì)全等三角形,并加以證明(正方形的對(duì)角線分正方形得到的兩個(gè)三角形除外);
(2)設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,按照題設(shè)方法作出的四邊形BGMP,若是菱形,求BE的長(zhǎng).

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案