Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，∠B=60°．
（1）求證：AB⊥AC；
（2）若DC=2，求梯形ABCD的面積．

Answer 1

分析：（1）由AD∥BC，AB=DC，∠B=60°，利用等腰梯形的性質(zhì)，可求得∠DCB=∠B=60°，又由AD=DC，易得∠DAC=∠BCA=30°，利用三角形內(nèi)角和定理，即可求得∠BAC=90°，即可證得AB⊥AC；
（2）首先過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E，由（1）可得△ABE是含30°的直角三角形，則可求得AE與BE的值，繼而求得EC的值，又由AB=AD=DC，可得BC與AD的值，繼而求得梯形ABCD的面積．

解答：（1）證明：∵AD∥BC，AB=DC，∠B=60°，
∴∠DCB=∠B=60°，∠DAC=∠ACB，
∵AD=DC，
∴∠DAC=∠DCA，
∴∠DCA=∠ACB=

60°

2

=30°，
∴∠BAC=180°-（∠B+∠ACB）=180°-（60°+30°）=90°，
∴AB⊥AC；

（2）解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E，
∵∠B=60°，
∴∠BAE=30°，
∵AB=DC=2，
∴BE=1，
∴AE=

AB2-BE2

=

3

，
∵∠ACB=30°，AB⊥AC，
∴BC=2AB=4，
∴S_梯形ABCD=

1

2

（AD+BC）•AE=

1

2

×（2+4）×

3

=3

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰梯形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理以及垂直的定義等知識(shí)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意掌握輔助線的作法．