Question

如圖，AB為⊙O直徑，且弦CD⊥AB于E，過點B的切線與AD的延長線交于點F．

    （1）若M是AD的中點，連接ME并延長ME交BC于N．求證：MN⊥BC．

（2）若cos∠C=，DF=3，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）證明：∵ AB⊥CD，∴ ∠AED=∠BEC=90°

M是AD的中點，∴ ME=AM，即有∠MEA=∠A 

又∵ ∠MEA=∠BEN，∠C=∠A

        ∴ ∠C=∠BEN 

又∵ ∠C+∠CBE=90°∴ ∠CBE+∠BEN=90°

∴ ∠BNE=90°，即MN⊥BC   

（2）連接BD

∵ ∠BCD與∠BAF同對  ∴ ∠C=∠A

∴ cos∠A=cos∠C=

∵ BF為⊙O的切線  ∴ ∠ABF=90°

在Rt△ABF中，cos∠A=

設AB=4x，則AF=5x，由勾股定理得：BF=3x

又∵ AB為⊙O的直徑，∴ BD⊥AD

∴ △ABF∽△BDF∴ 即，

∴ 直徑AB=4x=4×，則⊙O的半徑為