Question

如圖，已知拋物線過點A（-1，0），B（4，0），C（

11

5

，-

12

5

）．
（1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式及對稱軸；
（2）點C′是點C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點，證明直線y=-

4

3

（x+1）必經(jīng)過點C′；
（3）問：以AB為直徑的圓能否過點C？并說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)對稱軸公式，可得函數(shù)圖象的對稱軸；
（2）根據(jù)軸對稱的對稱點，可得C′點，根據(jù)點的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式，可得答案；
（3）根據(jù)圓心、圓的半徑，可得圓的解析式，根據(jù)點的坐標(biāo)是否滿足函數(shù)解析式，可得答案．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
有函數(shù)圖象過過點A（-1，0），B（4，0），C（

11

5

，-

12

5

），得

a-b+c=0 42a+4b+c=0 ( 11 5 )2a+ 11 5 b+c=- 12 5

，
解得

a= 5 12 b=- 5 4 c=- 5 3

，
拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是y=

5

12

x²-

5

4

x-

5

3

，
對稱軸是x=-

b

2a

=-

- 5 4

2× 5 12

=

3

2

；
（2）證明：C′點的坐標(biāo)是（

4

5

，-

12

5

），
把C′點的坐標(biāo)（

4

5

，-

12

5

）代入y═-

4

3

（x+1），得
左邊是y=-

12

5

，右邊=-

4

3

（x+1）=-

4

3

（

4

5

+1）=-

12

5

，
左邊=右邊，
∴直線y=-

4

3

（x+1）必經(jīng)過點C′；
（3）以AB為直徑的圓能過點C，理由如下：
以AB為直徑的圓是（x-

3

2

）²+y²=（

5

2

）²，
即（x-

3

2

）²+y²=

25

4

．
把C點的坐標(biāo)代入圓的方程的左邊，得
（

11

5

-

3

2

）²+（-

12

5

）²=（

22

10

-

15

10

）²+

144

25

=

49

100

+

576

100

=

25

4

，
左邊=右邊，
C點在以AB為直徑的圓上．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題，利用了待定系數(shù)法求解析式，點的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式，點在函數(shù)的圖象上．