Question

22、如圖，將等邊三角形APB繞頂點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)150°后，得到△CPD，連接AD、BC．
（1）求∠PCB的度數(shù)；
（2）猜想四邊形ABCD是

等腰梯

形，并說明你的理由．

Answer 1

分析：（1）由等邊三角形APB繞頂點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)150°得到△CPD，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠APC=150°，又∠APB=60°，利用周角的定義可得到∠CPB的度數(shù)，而PB=PC，利用等腰三角形的性質(zhì)即可求出底角∠PCB的度數(shù)；
（2）由△PAB和△PCD是全等的等邊三角形，得到∠ABC=∠DCB=15°+60°=75°；而∠APD=360°-150°-60°-60°=90°，同樣得到∠BAD=∠CDA=45°+60°=105°，于是可判斷四邊形ABCD是等腰梯形．

解答：解：（1）∵等邊三角形APB繞頂點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)150°得到△CPD，
∴∠APC=150°，
又∵△APB為等邊三角形，
∴∠APB=60°，
∴∠CPB=360°-60°-150°=150°，
而PB=PC，
∴∠PCB=（180°-150°）÷2=15°；

（2）四邊形ABCD是等腰梯形．理由如下：
∵△PAB和△PCD是全等的等邊三角形，
∴PA=PB=PC=PD，
而∠PCB=15°，
∴∠ABC=∠DCB=15°+60°=75°；
又∵∠APD=360°-150°-60°-60°=90°，
∴∠PDA=∠PAD=45°，
∴∠BAD=∠CDA=45°+60°=105°，
∴∠ABC+∠BAD=75°+105°=180°，
∴AD∥BC，
∴四邊形ABCD是等腰梯形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．同時(shí)考查了等腰梯形的判定方法．