Question

如圖（1），一架長(zhǎng)4米的梯子AB斜靠在與地面OM垂直的墻ON上，梯子與地面的傾斜角α為60°．
（1）求AO與BO的長(zhǎng)；
（2）若梯子頂端A沿NO下滑，同時(shí)底端B沿OM向右滑行．如圖（2），當(dāng)A點(diǎn)下滑到A′點(diǎn)，B點(diǎn)向右滑行到B′點(diǎn)時(shí)，梯子AB的中點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng)到P′點(diǎn)，若∠POP′=15°，試求AA′的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）在Rt△AOB中，∵∠AOB=90°，∠α=60°．∴∠OAB=30°，
又AB=4（米），∴（米），（米）．

（2）∵點(diǎn)P和點(diǎn)P′分別是Rt△AOB的斜邊AB與Rt△A′OB′的斜邊A′B′的中點(diǎn)，∴PA=PO，P′A′=P′O，
∴∠PAO=∠AOP，∠P′A′O=∠A′OP′．
∴∠P′A′O-∠PAO=∠POP′=15°．
∵∠PAO=30°，∴∠P′A′O=45°．
∴A′O=A′B′×cos45°=．
∴AA′=OA-A′O=米．
分析：（1）在直角△AOB中，已知斜邊AB，和銳角∠ABO，即可根據(jù)正弦和余弦的定義求得OA，OB的長(zhǎng)；
（2）△APO和△P′A′O都是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的兩底角相等，即可求得∠PAO的度數(shù)，和∠P′A′O的度數(shù)，
在直角△ABO和△A′B′O中，根據(jù)三角函數(shù)即可求得OA與OA′，即可求得AA′的長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：此題的妙處在于恰到好處地利用了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，從而求出∠P′A′O=45°，讓我們感受到了數(shù)學(xué)題真的很有意思，做數(shù)學(xué)題是一種享受．