Question

已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共頂點(diǎn)A，將正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)．

（1）發(fā)現(xiàn)：當(dāng)E點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DA的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖1），△ABE與△ADG的面積關(guān)系是：______．
（2）引申：當(dāng)正方形AEFG旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度時(shí)（如圖2），△ABE與△ADG的面積關(guān)系是：______．并證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）相等，

（2）過點(diǎn)E作△ABE中AB邊上的高，交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，
過點(diǎn)G作△ADG中AD邊上的高，交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，
∵正方形ABCD和正方形AEFG中，內(nèi)角都是直角，
∴∠EAP+∠GAP=90°，
∠QAG+∠GAP=90°，
∴∠EAP=∠DAG，
∵在正方形AEFG中，AE=AG，
在Rt△AEP和Rt△AGQ中，
∵，
∴Rt△AEP≌Rt△AGQ（AAS），
∴EP=QG，
∵正方形ABCD中，AB=AD，
∴S_△ABE=AB×EP=S_△ADG=AD×QD．
分析：（1）根據(jù)面積公式可直接看出△ABE與△ADG是等底等高的關(guān)系，所以面積相等；
（2）過點(diǎn)E作△ABE中AB邊上的高，交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，過點(diǎn)G作△ADG中AD邊上的高，交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q．利用正方形和直角三角形的性質(zhì)可證明△AEP≌△AGQ，即EP=QG，AB=AD，所以△ABE與△ADG也是等底等高，它們的面積關(guān)系是相等．
點(diǎn)評(píng)：本題考查旋轉(zhuǎn)，全等三角形的判定，正方形的性質(zhì)等知識(shí)在幾何綜合題中運(yùn)用．旋轉(zhuǎn)前后許多線段相等，要掌握全等的判定方法，并會(huì)根據(jù)全等的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)求得相等的線段或角．