Question

如圖，已知AB=AC，AB的中垂線MN交AC于點D，交AB于點M，BD平分∠ABC．
（1）求證：△ABC∽△BCD；
（2）求

AD

AC

的值；
（3）求cosA的值．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)中垂線的性質(zhì)得到AD=BD，接著得到∠A=∠ABD，而BD平分∠ABC，由此得到∠A=∠ABD=∠DBC，又∠C是公共角，然后利用相似三角形的判定定理即可證明△ABC∽△BCD；
（2）根據(jù)（1）可得AD=BD=BC，設(shè)AC=1，AD=x，然后利用相似三角形的性質(zhì)得到

1

x

=

x

1-x

，解方程求得x=

-1+ 5

2

，然后就可以求出

AD

AC

=

5 -1

2

；
（3）在Rt△AMD中，DM⊥AB，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可解決問題．

解答：解：（1）證明：∵AB的中垂線MN交AC于點D
∴AD=BD
∴∠A=∠ABD
∵BD平分∠ABC
∴∠A=∠ABD=∠DBC，
又∵∠C是公共角
∴△ABC∽△BDC；

（2）根據(jù)（1）可得：AD=BD=BC
設(shè)AC=1，AD=x
∵△ABC∽△BCD
則

1

x

=

x

1-x

，
解得x=

-1+ 5

2

或x=

-1- 5

2

（不合題意，舍去）
∴x=

-1+ 5

2

，
∴

AD

AC

=

5 -1

2

；

（3）在Rt△AMD中，DM⊥AB
∴cosA=

AM

AD

=

1 2

x

=

5 +1

4

．

點評：此題分別考查了相似三角形的性質(zhì)與判定、垂直平分線的性質(zhì)及三角函數(shù)的定義，綜合性比較強，解題首先根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)構(gòu)造相似三角形的條件，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題．