【題目】(本題滿分10分)(1)問題發(fā)現(xiàn)
如圖1,△ACB和△DCE均為等邊三角形,點(diǎn)A、D、E在同一直線上,連接BE,
填空:①∠AEB的度數(shù)為 ;
②線段AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系是 .
(2)拓展探究
如圖2,△ACB和△DCE均為等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=900, 點(diǎn)A、D、E在同一直線上,CM為△DCE中DE邊上的高,連接BE.請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
(3)解決問題如圖3,在正方形ABCD中,CD=.若點(diǎn)P滿足PD=1,且∠BPD=900,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A到BP的距離.
【答案】(1)①60;②AD=BE;(2)∠AEB=900;AE=2CM+BE,理由見試題解析;(3)或.
【解析】
試題分析:(1)由條件易證△ACD≌△BCE,從而得到:AD=BE,∠ADC=∠BEC.由點(diǎn)A,D,E在同一直線上可求出∠ADC,從而可以求出∠AEB的度數(shù).
(2)仿照(1)中的解法可求出∠AEB的度數(shù),證出AD=BE;由△DCE為等腰直角三角形及CM為△DCE中DE邊上的高可得CM=DM=ME,從而證到AE=2CH+BE.
(3)由PD=1可得:點(diǎn)P在以點(diǎn)D為圓心,1為半徑的圓上;由∠BPD=90°可得:點(diǎn)P在以BD為直徑的圓上.顯然,點(diǎn)P是這兩個(gè)圓的交點(diǎn),由于兩圓有兩個(gè)交點(diǎn),接下來需對(duì)兩個(gè)位置分別進(jìn)行討論.然后,添加適當(dāng)?shù)妮o助線,借助于(2)中的結(jié)論即可解決問題.
試題解析:(1)①如圖1,
∵△ACB和△DCE均為等邊三角形,∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°.∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中,∵AC=BC,∠ACD=∠BCE,CD=CE,
∴△ACD≌△BCE(SAS),∴∠ADC=∠BEC.
∵△DCE為等邊三角形,∴∠CDE=∠CED=60°.
∵點(diǎn)A,D,E在同一直線上,∴∠ADC=120°,∴∠BEC=120°,∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°.
故答案為:60°.
②∵△ACD≌△BCE,∴AD=BE.故答案為:AD=BE.
(2)∠AEB=90°,AE=BE+2CM.
理由:如圖2,
∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形,∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°,∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中,∵CA=CB,∠ACD=∠BCE,CD=CE,∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE,∠ADC=∠BEC.
∵△DCE為等腰直角三角形,∴∠CDE=∠CED=45°.
∵點(diǎn)A,D,E在同一直線上,∴∠ADC=135°,∴∠BEC=135°,∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°.
∵CD=CE,CM⊥DE,∴DM=ME,
∵∠DCE=90°,∴DM=ME=CM,∴AE=AD+DE=BE+2CM.
(3)∵PD=1,∴點(diǎn)P在以點(diǎn)D為圓心,1為半徑的圓上.
∵∠BPD=90°,∴點(diǎn)P在以BD為直徑的圓上,∴點(diǎn)P是這兩圓的交點(diǎn).
①當(dāng)點(diǎn)P在如圖3①所示位置時(shí),
連接PD、PB、PA,作AH⊥BP,垂足為H,
過點(diǎn)A作AE⊥AP,交BP于點(diǎn)E,如圖3①.
∵四邊形ABCD是正方形,∴∠ADB=45°.AB=AD=DC=BC=,∠BAD=90°,∴BD=2.
∵DP=1,∴BP=.
∵A、P、D、B四點(diǎn)共圓,∴∠APB=∠ADB=45°,∴△PAE是等腰直角三角形.
又∵△BAD是等腰直角三角形,點(diǎn)B、E、P共線,AH⊥BP,∴由(2)中的結(jié)論可得:BP=2AH+PD.
∴=2AH+1,∴AH=;
②當(dāng)點(diǎn)P在如圖3②所示位置時(shí),
連接PD、PB、PA,作AH⊥BP,垂足為H,
過點(diǎn)A作AE⊥AP,交PB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,如圖3②.
同理可得:BP=2AH﹣PD,∴=2AH﹣1,∴AH=.
綜上所述:點(diǎn)A到BP的距離為或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn),過O點(diǎn)作射線OC,使∠AOC:∠BOC=1:2,將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處,一邊OM在射線OB上,另一邊ON在直線AB的下方.
(1)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至圖2的位置,使得ON落在射線OB上,此時(shí)三角板旋轉(zhuǎn)的角度為度;
(2)繼續(xù)將圖2中的三角板繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至圖3的位置,使得ON在∠AOC的內(nèi)部.試探究∠AOM與∠NOC之間滿足什么等量關(guān)系,并說明理由;
(3)在上述直角三角板從圖1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖3的位置的過程中,若三角板繞點(diǎn)O按15°每秒的速度旋轉(zhuǎn),當(dāng)直角三角板的直角邊ON所在直線恰好平分∠AOC時(shí),求此時(shí)三角板繞點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值.
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【題目】如圖,二次函數(shù)y=﹣mx2+4m的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),矩形ABCD的頂點(diǎn)B.C在x軸上,A、D在拋物線上,矩形ABCD在拋物線與x軸所圍成的圖形內(nèi)點(diǎn)A在點(diǎn)D的左側(cè).
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x,y),試求矩形ABCD的周長(zhǎng)P關(guān)于自變量x的函數(shù)解析式,并求出自變量x的取值范圍;
(3)是否存在這樣的矩形ABCD,使它的周長(zhǎng)為9?試證明你的結(jié)論.
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【題目】在剛過去的2017年,我國整體經(jīng)濟(jì)實(shí)力躍上了一個(gè)新臺(tái)階,城鎮(zhèn)新增就業(yè)1351萬人,數(shù)據(jù)“1351萬”用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A. 13.51×106 B. 1.351×107 C. 1.351×106 D. 0.1531×108
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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(1)觀察圖形,寫出圖中所有與∠AED相等的角.
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(1)求該方程組的解;
(2)若該方程組的解使ax+2y+z<0成立,求整數(shù)a的最大值.
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