Question

使得m²+m+7是完全平方數(shù)的所有整數(shù)m的積是    ．

Answer 1

【答案】分析：將m²+m+7表示為k²的形式，然后轉(zhuǎn)化可得出（2m+2k+1）（2m-2k+1）=-27，從而討論可得出m的值，從而得到所有整數(shù)m的積．
解答：解：設(shè)m²+m+7=k²，
所以m²+m++=k²，
所以（m+^_）2+=k²，
所以 （m+^_）2-k²=-，
所以（m++k）（m+-k）=-，
所以（2m+2k+1）（2m-2k+1）=-27
因為k≥0（因為k²為完全平方數(shù)），且m與k都為整數(shù)，
所以①2m+2k+1=27，2m-2k+1=-1，解得：m=6，k=7；
②2m+2k+1=9，2m-2k+1=-3，解得：m=1，k=3；
③2m+2k+1=3，2m-2k+1=-9，解得：m=-2，k=3；
④2m+2k+1=1，2m-2k+1=-27，解得：m=-7，k=7．
所以所有m的積為6×1×（-2）×（-7）=84．
故答案為：84．
點評：本題考查完全平方數(shù)的知識，難度較大，關(guān)鍵是將m²+m+7表示為k²的形式，得到（2m+2k+1）（2m-2k+1）=-27，同時也要掌握討論法的運用．