Question

正三角形網(wǎng)格中每個(gè)小正三角形面積為1，小正三角形的頂點(diǎn)為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形稱為格點(diǎn)多邊形，設(shè)格點(diǎn)多邊形各邊上的格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和為a，格點(diǎn)邊多邊形內(nèi)部的格點(diǎn)個(gè)數(shù)和為b，格點(diǎn)多邊形的面積為S，圖l、圖2是兩個(gè)格點(diǎn)多邊形．
（1）根據(jù)圖中提供的信息填表：

一般格點(diǎn)多邊形	a	b	a+2b	S
多邊形1（圖1）	6	1	______	______
多邊形2（圖2）	7	2	11	______
…	…	…	…	…

（2）在給定的正三角形網(wǎng)格中分別畫出一個(gè)面積為3、4、5的格點(diǎn)多邊形：
（3）猜想S與a、b之間的關(guān)系：S=______（用含a、b的代數(shù)式表示）；
（4）若一個(gè)格點(diǎn)多邊形的面積為S，b是否存在最大值和最小值？若存在求出最大值和最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）答案如下：

一般格點(diǎn)多邊形	a	b	a+2b	S
多邊形1（圖1）	6	1	8	6
多邊形2（圖2）	7	2	11	9
…	…	…	…	…

（2）畫圖如下：


（3）因?yàn)?=8-2=6+2×1-2，
9=11-2=7+2×2-2，
…
所以S與a、b之間的關(guān)系：S=a+2（b-1）；

（4）因?yàn)?b+2為偶數(shù)，則a和S同奇或同偶，如圖所示，題目問b是否為最大值或最小值，顯然，取一行平行四邊形來觀察，不管S取什么值時(shí)，存在最小值b=0，接下來討論 b的最大值，從s=a+2b-2得出，a值得取最小值．因?yàn)镾值可以奇數(shù)也可以取偶數(shù)，所以a的最小值就有兩種情況：
①當(dāng)a為奇數(shù)時(shí)，最小值a=3                        
②當(dāng)a為偶數(shù)時(shí)，最小值a=4．
分別把a(bǔ)值代入公式s=a+2b，得最大值b=（s-1）或最大值b=s-1．

分析：（1）根據(jù)數(shù)值，通過圖形填出答案即可；
（2）由數(shù)值和圖形直接畫出即可；
（3）由（1）（2）的計(jì)算方法得出一般規(guī)律即可；
（4）因?yàn)?b+2為偶數(shù)，則a和s同奇或同偶，題目問b是否為最大值或最小值，顯然，取一行平行四邊形來觀察，不管S取什么值時(shí)，存在最小值b=0，接下來討論b的最大值，從s=a+2b-2得出，a值得取最小值．因?yàn)镾值可以奇數(shù)也可以取偶數(shù)，所以a的最小值就有兩種情況：①當(dāng)a為奇數(shù)時(shí)； ②當(dāng)a為偶數(shù)時(shí)；分別把a(bǔ)值代入公式s=a+2b，得出答案即可．
點(diǎn)評：考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖．此題需要根據(jù)圖中表格和自己所算得的數(shù)據(jù)，總結(jié)出規(guī)律．尋找規(guī)律是一件比較困難的活動(dòng)，需要仔細(xì)觀察和大量的驗(yàn)算．