Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BD=BC，CE⊥CD交AB于E．
（1）求證：△ACE∽△ADC；
（2）若BE：EA=3：2，求sin∠A的值．

Answer 1

解：（1）∵BD=BC，
∴∠DCB=∠D．
又∵CE⊥CD，∠ACB=90°，
∴∠DCB+∠BCE=90°，∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠D=∠DCB=∠ACE，
又∵∠A=∠A，
∴△ACE∽△ADC．

（2）∵∠DCB+∠BCE=90°，∠D+∠DEC=90°，又∠DCB=∠D，
∴∠BCE=∠BEC，
∴BE=BC．
又BE：EA=3：2，令BE=3k，EA=2k，
在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3k，AB=5k，
∴sin∠A=．
分析：（1）欲證△ACE∽△ADC，只要找出兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等即可得證，利用BD=BC，可得∠DCB=∠D，又利用等角的余角相等，即可得出∠D=∠ACE，且∠A為公共角，即可得證．
（2）結(jié)合題意，易證∠BCE=∠BEC，且BE=BC．又因?yàn)锽E：EA=3：2，設(shè)BE=3k，EA=2k，在△ABC中，∠ACB=90°，可分別得出BC=3k，AB=5k，利用三角函數(shù)關(guān)系即可得出sin∠A=．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定和解直角三角形的應(yīng)用，希望學(xué)生能夠靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，掌握此類題目的要點(diǎn)．