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如圖①，分別以Rt△ABC三邊為直徑向外作三個半圓，其面積分別用S1，S2，S3表示，則不難證明S1=S2+S3．
（1）如圖②，分別以Rt△ABC三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用S1，S2，S3表示，寫出它們的關系；（不必證明）
（2）如圖③，分別以Rt△ABC三邊為邊向外作正三角形，其面積分別用S1，S2，S3表示，確定它們的關系并證明；
（3）若分別以Rt△ABC三邊為邊向外作三個一般三角形，其面積分別用S1，S2，S3表示，為使S1，S2，S3之間仍具有與（2）相同的關系，所作三角形應滿足什么條件？
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分析：（1）從圖一的規(guī)律可得S1=S2+S3；
（2）根據勾股定理求得等邊三角形的高，再求出面積，可得S1=S2+S3；
（3）根據兩相似三角形的面積比等于相似比的平方，可得
S2
S1
=
a2
c2
，
S3
S1
=
b2
c2
，∴
S2+S3
S1
=
a2+b2
c2
=1，∴S1=S2+S3．
解答：解：由設Rt△ABC三邊BC，CA，AB的長分別為a，b，c，則c2=a2+b2．
（1）S1=S2+S3

（2）S1=S2+S3，證明如下：
顯然S1=
3
4
c2，S2=
3
4
a2，S3=
3
4
b2，
∴S2+S3=
3
4
（a2+b2）=
3
4
c2=S1．

（3）當所作的三個三角形相似時，S1=S2+S3．
∵所作三個三角形相似．
∴
S2
S1
=
a2
c2
，
S3
S1
=
b2
c2
，
∴
S2+S3
S1
=
a2+b2
c2
=1．
∴S1=S2+S3．
即凡是向△ABC外做相似多邊形，S1=S2+S3．
點評：此題主要涉及的知識點：三角形、正方形、圓的面積計算以及勾股定理的應用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，若分別以Rt△ABC的三邊為邊長作正方形的面積分別是S1，S2，S3，其中∠BCA=90°，則可推得它們滿足的關系式是S1+S2=S3．若分別以Rt△ABC的三邊為邊長作正三角形的面積分別是S4，S5，S6，那么S4，S5，S6滿足的關系式是
 
．

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科目：初中數學 來源： 題型：

證明：
（1）如圖1，△ABC中，AB=AC，延長BC至D，使CD=BC，點E在邊AC上，以CE、CD為鄰邊作?CDFE，過點C作CG∥AB交EF于點G．連接BG、DE．
①∠ACB與∠GCD有怎樣的數量關系？請說明理由．
②求證：△BCG≌△DCE．
（2）如圖2，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD、等邊△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足為F，連接DF．
①試說明AC=EF；
②求證：四邊形ADFE是平行四邊形．

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科目：初中數學 來源： 題型：解答題

證明：
（1）如圖1，△ABC中，AB=AC，延長BC至D，使CD=BC，點E在邊AC上，以CE、CD為鄰邊作?CDFE，過點C作CG∥AB交EF于點G．連接BG、DE．
①∠ACB與∠GCD有怎樣的數量關系？請說明理由．
②求證：△BCG≌△DCE．
（2）如圖2，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD、等邊△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足為F，連接DF．
①試說明AC=EF；
②求證：四邊形ADFE是平行四邊形．

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科目：初中數學 來源： 題型：填空題

如圖，若分別以Rt△ABC的三邊為邊長作正方形的面積分別是S1，S2，S3，其中∠BCA=90°，則可推得它們滿足的關系式是S1+S2=S3．若分別以Rt△ABC的三邊為邊長作正三角形的面積分別是S4，S5，S6，那么S4，S5，S6滿足的關系式是________．

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科目：初中數學 來源：2012-2013學年蒲英教育九年級（上）開學考試數學試卷（解析版） 題型：解答題

證明：
（1）如圖1，△ABC中，AB=AC，延長BC至D，使CD=BC，點E在邊AC上，以CE、CD為鄰邊作?CDFE，過點C作CG∥AB交EF于點G．連接BG、DE．
①∠ACB與∠GCD有怎樣的數量關系？請說明理由．
②求證：△BCG≌△DCE．
（2）如圖2，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD、等邊△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足為F，連接DF．
①試說明AC=EF；
②求證：四邊形ADFE是平行四邊形．

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