Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c與坐標(biāo)軸分別交于A（-3，0），B（1，0），C（0，3），D是拋物線頂點(diǎn)，E是對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)
（1）求拋物線解析式；
（2）F是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，且tan∠AFE=

1

2

，求點(diǎn)O到直線AF的距離；
（3）點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作PQ∥OF交拋物線于點(diǎn)Q，是否存在以點(diǎn)O，F(xiàn)，P，Q為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將A，B，C代入拋物線解析式即可求得a、b、c的值，即可解題；
（2）易求得頂點(diǎn)D坐標(biāo)，即可求得AE的長度，根據(jù)tan∠AFE=

1

2

，可以求得EF的長，可得F點(diǎn)坐標(biāo)，過O作OH⊥AF于點(diǎn)H，根據(jù)勾股定理可得AF的長，即可求得OH的長，即可解題；
（3）若存在以點(diǎn)O，F(xiàn)，P，Q為頂點(diǎn)的平行四邊形，則點(diǎn)Q（x，y）滿足|y|=|EF|=4，討論：
①當(dāng)y=-4時(shí)，-x²-2x+3=-4，可得x的值，可求得點(diǎn)P坐標(biāo)；②當(dāng)y=4時(shí)，-x²-2x+3=4，可得x的值，可求得點(diǎn)P坐標(biāo)；即可解題．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A（-3，0），B（1，0），C（0，3）是拋物線y=ax²+bx+c上點(diǎn)，
∴

9a-3b+c=0 a+b+c=0 c=3

，解得：

a=-1 b=-2 c=3

，
∴拋物線解析式為y=-x²-2x+3；
（2）如圖，

當(dāng)x=-

b

2a

=-1時(shí)，y=4，
∴頂點(diǎn)D坐標(biāo)為（-1，4），
∴AE=-1-（-3）=2，
又∵tan∠AFE=

1

2

，
∴

2

EF

=

1

2

，
∴EF=4，
∴F點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-4），
∵OH⊥AF于點(diǎn)H，
根據(jù)勾股定理得：AF²=AE²+EF²=2²+4²，
∴AF=2

5

，
∵

1

2

×2

5

•HO=

1

2

×2×4，
∴OH=

4 5

5

；
（3）若存在以點(diǎn)O，F(xiàn)，P，Q為頂點(diǎn)的平行四邊形，則點(diǎn)Q（x，y）滿足|y|=|EF|=4，
①當(dāng)y=-4時(shí)，-x²-2x+3=-4，
解得：x=-1±2

2

，
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（-1-2

2

，-4）（-1+2

2

，-4）
∴P₁ （-2

2

，0），P₂ （2

2

，0）；
②當(dāng)y=4時(shí)，-x²-2x+3=4，
解得：x=-1，
∴Q坐標(biāo)為（-1，4），
∴P₃ 坐標(biāo)為（-2，0），
綜上所述，符合條件的點(diǎn)有三個(gè)即：P₁ （-2

2

，0），P₂ （2

2

，0）；P₃ （-2，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)解析式的求解，考查了拋物線頂點(diǎn)的求解，考查了直角三角形中勾股定理的運(yùn)用，本題中求得拋物線解析式是解題的關(guān)鍵．