Question

如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，P是邊AB（含端點）上的動點．過P作BC的垂線PR，R為垂足，∠PRB的平分線與AB相交于點S，在線段RS上存在一點T，若以線段PT為一邊作正方形PTEF，其頂點E，F(xiàn)恰好分別在邊BC，AC上．
（1）請判斷BS與PS的長度之間的關系；
（2）請你探索線段TS與PA的長度之間的關系，并證明；
（3）設AB=1，當P在邊AB（含端點）上運動時，請你探索正方形PTEF的面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）由等腰直角三角形ABC的兩個底角相等知∠B=∠C=45°；然后由垂直的定義、三角形內角和推知∠BPR=45°，所以根據等角對等邊可以證明△BRP是等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性質可以證得RS是PB的垂直平分線；
（2）根據全等直角三角形的判定定理AAS證得△FPA≌△PTS；然后由全等三角形的對應邊相等即可推知TS=PA；
（3）要求正方形FPTE的面積，那么就要求出它的邊長．RS是等腰直角△PRS的高，那么BS=PS，PS=

1-PA

2

，由（2）證得的全等三角形中我們可得出PS=AF，如果設PA=x，正方形PTEF的面積為y，我們就能用x表示出AF的值，直角三角形APF中，我們就能用x表示出PF²，也就得出了y與x的函數關系式，然后確定x的取值范圍，x最小時x=PA=0此時P與A重合，S與T重合，E與R重合．x最大時，T與R重合，此時TS=BS=SP=PA，因此PA=

1

3

，那么x的范圍就是0≤x≤

1

3

，然后根據函數的性質和自變量的范圍求出y的最小值．

解答：解：（1）BS=BS；理由如下：
∵在Rt△ABC中，AB=AC（已知），
∴∠B=∠C=45°（三角形內角和定理）；
又∵PR⊥BC（已知），
∴∠SPR=45°（三角形內角和定理），
∴∠B=∠BPR（等量代換），
∴BR=PR（等角對等邊）；
∵RS是∠PRB的平分線（已知），
∴RS是PB的中垂線（等腰三角形的性質），
∴BS=BS；

（2）PA=TS；證明如下：
由（1）知，RS⊥平板，
∴∠STP+∠SPT=90°（直角三角形的兩個銳角互余）；
又∵四邊形PTEF是正方形，
∴∠FPT=90°（正方形的四個內角都是直角），
∴∠APF+∠SPT=90°（平角的定義），
∴∠APF=∠STP（等量代換）；
∴在Rt△FPA和Rt△PTS中，

∠FAP=∠PST=90° ∠APF=∠STP PF=TP(正方形的邊長)

，
∴Rt△FPA≌Rt△PTS，
∴PA=TS；（全等三角形的對應邊相等）；

（3）∵由（1）知，RS是等腰Rt△PRB的底邊PB上的高，
∴PS=BS，
∴BS+PS+PA=1，
∴PS=

1-PA

2

．
設PA的長為x，正方形PTEF的面積為y，易知AF=PS，
則y=PF²=PA²+PS²，得y=x²+(

1-x

2

)2，
即y=

5

4

x²-

1

2

x+

1

4

，
根據二次函數的性質，當x=

1

5

時，y有最小值為

1

5

．
如圖2，當點P運動使得T與R重合時，PA=TS為最大．
易證等腰Rt△PAF≌等腰Rt△PSR≌等腰Rt△BSR，
∴PA=

1

3

．
如圖3，當P與A重合時，得x=0．
∴x的取值范圍是0≤x≤

1

3

．
∴①當x的值由0增大到

1

5

時，y的值由

1

4

減小到

1

5

；
②當x的值由

1

5

增大到

1

3

時，y的值由

1

5

增大到

2

9

．
∵

1

5

≤

2

9

≤

1

4

，
∴在點P的運動過程中，正方形PTEF面積y的最小值是

1

5

．

點評：本題綜合考查了正方形的性質、等腰三角形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質．解答（3）題時，注意求出二次函數后，要先討論出x的取值范圍，然后再根據自變量的范圍求y的值．