Question

如圖，已知直線y=kx-6與拋物線y=ax²+bx+c相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A（1，-4）為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸上．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在（1）中拋物線的第二象限圖象上是否存在一點(diǎn)P，使△POB與△POC全等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）若點(diǎn)Q是y軸上一點(diǎn)，且△ABQ為直角三角形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）把A（1，-4）代入y=kx-6，得k=2，∴y=2x-6，∴B（3，0）．

∵A為頂點(diǎn)，∴設(shè)拋物線的解析為y=a(x-1)²-4，解得a=1，∴y=(x-1)²-4=x²-2x-3   （4分）

（2）存在．∵OB=OC=3，OP=OP，∴當(dāng)∠POB=∠POC時(shí)，△POB≌△POC，

此時(shí)PO平分第三象限，即PO的解析式為y=-x．

設(shè)P（m，-m），則-m=m²-2m-3，解得m=（m=>0，舍），

∴P（，）．                                            

（3）①如圖，當(dāng)∠Q₁AB=90°時(shí)，△DAQ₁∽△DOB，∴，即，∴DQ₁=，

∴OQ₁=，即Q₁（0，）；

②如圖，當(dāng)∠Q₂BA=90°時(shí)，△BOQ₂∽△DOB，

∴，即，

∴OQ₂=，即Q₂（0，）；

③如圖，當(dāng)∠AQ₃B=90°時(shí)，作AE⊥y軸于E，

則△BOQ₃∽△Q₃EA，

∴，即，

∴OQ₃²-4OQ₃+3=0，∴OQ₃=1或3，

即Q₃（0，-1），Q₄（0，-3）．

綜上，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）或（0，）或（0，-1）或（0，-3）．        

【解析】（1）先由A（1，-4）得到直線的解析式，再求得直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)B（3，0），即可求得拋物線的解析式；

（2）由△POB≌△POC可知PO平分第三象限，即PO的解析式為y=-x，求出它與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)即為點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）分三種情況：①當(dāng)∠Q₁AB=90°時(shí)，△DAQ₁∽△DOB；②當(dāng)∠AQ₃B=90°時(shí)，作AE⊥y軸于E，則△BOQ₃∽△Q₃EA；③當(dāng)∠AQ₃B=90°時(shí)，作AE⊥y軸于E，則△BOQ₃∽△Q₃EA，在這三種情況下利用對應(yīng)邊成比例即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)．