Question

如圖，在⊙O中，半徑OA⊥OB，弦AC交OB于點D，E是OB延長線上一點，如果∠OAD=30°，ED=CE．
求證：EC是⊙O的切線．

Answer 1

證明：如圖，連接CO，
∵OC、OA是圓的半徑，
∴OC=OA，
∴∠A=∠OCA，
而OA⊥OB，
∴∠ODA+∠A=90°，
又∠ODA=∠CDE，
而EC=ED，
∴∠ECD=∠EDC，
∴∠ECD+∠OCD=90°，
∴OC⊥CE，
∴EC是⊙O的切線．
分析：如圖，連接CO，由于OC、OA是圓的半徑，利用等腰三角形的性質得到∠A=∠OCA，而OA⊥OB，利用垂線的性質得到∠DOA+∠A=90°，又∠ODA=∠CDE，而EC=ED，再利用等腰三角形的性質得到∠ECD=∠EDC，最后利用等式的性質可以證明∠ECD+∠OCD=90°，接著利用切線的判定方法即可解決問題．
點評：此題主要考查了切線的判定，同時也利用了等腰三角形的性質，其中要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．