Question

如圖，在正方形ABCD的邊BC，CD上分別有點E，F(xiàn)，∠EAF=45°，AH⊥EF．
求證：（1）AH=AB；（2）猜想EF與BE、DF的關系并給出證明．

Answer 1

解：（1）如果，將正方形ABCD以A為頂點，以AD為邊順時針旋轉90°與AB重合．設旋轉后的正方形為AD₁C₁B₁那么B與D₁重合．且F₁，B，E三點共線．
由旋轉的性質可知∠F₁AF=2∠EAF=90°，AF=AF₁
∴∠F₁AE=90°-45=45°=∠EAF．
三角形AF₁E和AEF中，
∵∠F₁AE=∠EAF，AF=AF₁，AE=AE，
∴△AF₁E≌△AFE．
∵AH，AB為兩三角形對應邊EF，F(xiàn)₁E上的高，
∴AH=AB．


（2）由（1）得，AH=AB．
在直角三角形AHF和AFD中，
∵AH=AB，AF=AF，
∴△AHF≌△ADF（HL）．
∴HF=DF．
由（1）得出的全等三角形可知：BE=EH．
∴EF=EH+HF=BE+DF．
分析：（1）求證AH=AB，無法直接證明三角形ABE和AHE全等，那么可構建全等三角形來求解．將正方形ABCD順時針旋轉90°，AD和AB重合，從而根據(jù)旋轉的性質及全等三角形的判定不難求得結論；
（2）要求EF，BE，DF的關系，可以通過全等將BE，DF轉化為EH，HF來求解．
點評：本題考查了全等三角形的判定和正方形的性質，當無法直接證得與所求線段相關的三角形全等時可以通過其他方法（如旋轉，作輔助線等）來構建全等三角形，實現(xiàn)線段的相等或轉換．