Question

如圖①，在平面直角坐標(biāo)中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，﹣2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，﹣1），二次函數(shù)y=﹣x2的圖象為l1．

（1）平移拋物線l1，使平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，但不過(guò)點(diǎn)B．

①滿足此條件的函數(shù)解析式有 個(gè)．

②寫出向下平移且經(jīng)點(diǎn)A的解析式 ．

（2）平移拋物線l1，使平移后的拋物線經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，所得的拋物線l2，如圖②，求拋物線l2的函數(shù)解析式及頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求△ABC的面積．

（3）在y軸上是否存在點(diǎn)P，使S△ABC=S△ABP？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

 

Answer 1

（1）①無(wú)數(shù)；②y=﹣x2﹣1；（2）；（3）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，）或（0，）．

【解析】

試題分析：（1）①根據(jù)實(shí)際情況可以直接寫出結(jié)果．

②設(shè)平移以后的二次函數(shù)解析式是：y=﹣x2+c，把（1，﹣2）代入即可求得c=﹣1，從而得到函數(shù)的解析式：y=﹣x2﹣1．

（2）利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；化為頂點(diǎn)式得到點(diǎn)C 的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)分別作x軸的垂線，垂足分別為D、EE、F，求得△ABC的面積．

（3）分當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)G的下方和上方，兩種情況進(jìn)行討論求解．

試題解析：【解析】
（1）①無(wú)數(shù)；

②y=﹣x2﹣1．

（2）設(shè)l2的解析式是y=x2+bx+c，

∵l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，﹣2）和B（3，﹣1），

∴，解得：．

∴l(xiāng)2的解析式是：．

∵，

∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是．

如答圖1，過(guò)點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)分別作x軸的垂線，垂足分別為D、E、F，

則AD=2，CF=，BE=1，DE=2，DF=，F(xiàn)E=．

∴S△ABC=S梯形ABED﹣S梯形BCFE﹣S梯形ACFD=．

（3）存在．如答圖2，3，延長(zhǎng)BA交y軸于點(diǎn)G，

設(shè)直線AB的解析式為，

則，解得．

∴直線AB的解析式為．

∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，）．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，h），

①當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)G的下方時(shí)，如答圖2，PG=，連接AP、BP，

則S△ABP=S△BPG﹣S△APG=．

又∵S△ABC=S△ABP=，得h=．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，）．

②當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)G的上方時(shí)，如答圖3，PG=，

同上可得h=，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，）．

綜上所述，所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，）或（0，）．

考點(diǎn)：1．二次函數(shù)綜合題；2．線動(dòng)平移問(wèn)題；3．待定系數(shù)法的應(yīng)用；4．曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；5．二次函數(shù)的性質(zhì)；6．三角形和梯形面積；7．分類思想、轉(zhuǎn)換思想和方程思想的應(yīng)用．