解:在Rt△ABC中,AB=6,AC=8,
∴BC=10.
∵P、Q兩點(diǎn)從點(diǎn)A同時出發(fā),可同時到達(dá)點(diǎn)C,
∴

(1)設(shè)P點(diǎn)移動的路程為x,Q點(diǎn)移動的路程為2x.
∴CP=8-x,BQ=2x-6,CQ=16-2x.
作QH⊥AC,垂足為H(如右下圖).
∵∠A=90°,∴QH∥AB,
∴

∴

,

∴PH=CH-CP=

(8-x),
∴tan∠QPA=

=2.
∵tan∠QCA=

,
∴tan∠QPA+tan∠QCA=

,
tan∠QPA•tan∠QCA=

,
∴以tan∠QCA、tan∠QPA為根的一元二次方程為
y
2-

即4y
2-11y+6=0.

(2)當(dāng)S
△PBQ=

時,設(shè)PA=x,點(diǎn)Q的位置有兩種情況:
①當(dāng)點(diǎn)Q在AB上時(如圖),
則AQ=2x,BQ=6-2x.
S
△PBQ=

=

=

,
∴

,
∵△=9-

,
∴此方程無實(shí)根,故點(diǎn)Q不能在AB上;

②當(dāng)點(diǎn)Q在BC邊上時(如圖),
則QB=2x-6.
作PG⊥BC,垂足為G,
∴△PCG∽△BCA,
∴

,
∴

,
∴S
△PBQ=

=

=

.
∴x
2-11x+28=0,
解得:x
1=4,x
2=7.
∴S
△PBQ=

時,PA=4或7.
分析:(1)首先由勾股定理求出BC的長度,然后根據(jù)已知條件若P、Q兩點(diǎn)同時從點(diǎn)A出發(fā),則可同時到達(dá)點(diǎn)C,得出在相等的時間之內(nèi),Q點(diǎn)運(yùn)動的路程是P點(diǎn)運(yùn)動路程的2倍.如果作QH⊥AC,垂足為H,設(shè)P點(diǎn)移動的路程為x,Q點(diǎn)移動的路程為2x.那么根據(jù)正切函數(shù)的定義可分別求出tan∠QCA、tan∠QPA的值,再由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,求出以tan∠QCA、tan∠QPA為根的一元二次方程.
(2)如果P、Q兩點(diǎn)同時從點(diǎn)A出發(fā),當(dāng)S
△PBQ=

時,點(diǎn)Q的位置可能有兩種情況:①點(diǎn)Q在AB上;②點(diǎn)Q在BC上.針對每一種情況,均可根據(jù)三角形的面積公式列出關(guān)于x的方程(設(shè)PA=x),求出的符合題意的解即為所求.
點(diǎn)評:本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)及判定,勾股定理、正切函數(shù)的定義、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等知識,綜合性較強(qiáng),難度較大.注意在求第二問時,雖然點(diǎn)Q不能在AB上,但是在討論時,不能遺漏這種情況.