Question

已知?ABCD，AB⊥AC，E在AD邊上，連接BE、AC交于點F，∠ABE=∠CAD，tan∠EBC=

1

2

，CF=

5

+1，AF長為

 

．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：過點F、B、C作⊙O，CG為⊙的直徑，連接OB，GF交于H，如圖，由平行四邊形的性質(zhì)得AD∥BC，則∠6=∠5，由于∠1=∠6，所以∠1=∠5，再根據(jù)圓周角定理得到∠2=∠G，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠3=∠4，則∠1+∠2+∠3=∠5+∠4+∠G，再利用圓周角定理由CG為直徑得到∠5+∠4+∠G=90°，所以∠1+∠2+∠3=90°，易證得四邊形ABHF為矩形，于是有∠BHF=90°，AF=BH，根據(jù)垂徑定理由OH⊥GF得到GH=FH，所以O(shè)H為△GFC的中位線，得到OH=

1

2

FC=

1

2

（

5

+1），
在Rt△CFG中，利用正切的定義可計算出FG=2（

5

+1），再利用勾股定理計算出CG=5+

5

，則OB=

1

2

CG=

1

2

（5+

5

），然后可計算出BH=OB-OH=2，于是得到AF=2．

解答：解：過點F、B、C作⊙O，CG為⊙的直徑，連接OB，GF交于H，如圖，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠6=∠5，
而∠1=∠6，
∴∠1=∠5，
∵∠2=∠G，∠3=∠4，
∴∠1+∠2+∠3=∠5+∠4+∠G，
∵CG為直徑，
∴∠GFC=90°，
∴∠5+∠4+∠G=90°，
∴∠1+∠2+∠3=90°，
而AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∴四邊形ABHF為矩形，
∴∠BHF=90°，AF=BH，
∴OH⊥GF，
∴GH=FH，
∴OH為△GFC的中位線，
∴OH=

1

2

FC=

1

2

（

5

+1），
在Rt△CFG中，tan∠G=tan∠2=

1

2

=

FC

FG

，
∴FG=2（

5

+1），
∴CG=

FG2+CF2

=5+

5

，
∴OB=

1

2

CG=

1

2

（5+

5

），
∴BH=OB-OH=

1

2

（5+

5

）-

1

2

（

5

+1）=2，
∴AF=2．
故答案為2．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓周角定理、垂徑定理、平行四邊形的性質(zhì)和矩形的判定與性質(zhì)；會運用勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行幾何計算．