如圖，矩形 A₁B₁C₁D₁的邊長 A₁D₁=8，A₁B₁=6，順次連接 A₁B₁C₁D₁各邊的中點得到 A₂B₂C₂D₂，順次連接A₂B₂C₂D₂各邊的中點得到A₃B₃C₃D₃，…，依此類推．
（1）求四邊形A₂B₂C₂D₂的邊長，并證明四邊形A₂B₂C₂D₂是菱形；
（2）四邊形A₁₀B₁₀C₁₀D₁₀是矩形還是菱形？A₁₀B₁₀=？（第（2）問寫出結果即可）

解：連接A₁C₁，B₁D₁，
已知A₁B₁C₁D₁是矩形，∴A₁C₁=B₁D₁，
又A₂，B₂，C₂，D₂是中點，根據(jù)三角形中位線性質得：
A₂B₂=C₂D₂= $\text{[math]}$ A₁C₁，A₂D₂=B₂C₂= $\text{[math]}$ B₁D₁，
∴A₂B₂=C₂D₂=A₂D₂=B₂C₂，
∴四邊形A₂B₂C₂D₂是菱形．
在直角三角形A₁B₁C₁中，根據(jù)勾股定理得：
A₁C₁= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =10，
∴A₂B₂= $\text{[math]}$ A₁C₁= $\text{[math]}$ ×10=5．
所以四邊形A₂B₂C₂D₂的邊長為5．

（2）通過觀察分析總結各個圖形有如下關系：
A_n+2B_n+2C_n+2D_n+2與A_nB_nC_nD_n相似，且
A_n+2B_n+2C_n+2D_n+2的邊長是A_nB_nC_nD_n邊長的一半，
例如，A₃B₃C₃D₃的邊長是A₁B₁C₁D₁邊長的一半，A₄B₄C₄D₄的邊長是A₂B₂C₂D₂邊長的一半…
因此A₁₀B₁₀C₁₀D₁₀的邊長是A₂B₂C₂D₂ 的 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
所以A₁₀B₁₀C₁₀D₁₀也是菱形． A₁₀B₁₀= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由已知，先連接A₁C₁，B₁D₁，根據(jù)三角形中位線的性質，得A₂B₂=C₂D₂= $\text{[math]}$ A₁C₁，A₂D₂=B₂C₂= $\text{[math]}$ B₁D₁，又由矩形的性質對角線相等，推出四邊形A₂B₂C₂D₂是菱形．由勾股定理求出對角線的長，從而求出四邊形A₂B₂C₂D₂的邊長．
（2）通過觀察計算發(fā)現(xiàn)規(guī)律，A_n+2B_n+2C_n+2D_n+2與A_nB_nC_nD_n相似，且A_n+2B_n+2C_n+2D_n+2的邊長是A_nB_nC_nD_n邊長的一半，例如，A₃B₃C₃D₃的邊長是A₁B₁C₁D₁邊長的一半，A₄B₄C₄D₄的邊長是A₂B₂C₂D₂邊長的一半…，從而得出
A₁₀B₁₀C₁₀D₁₀也是菱形．
點評：此題考查的知識點是矩形的判定與性質、三角形中位線定理及菱形的判定，解答此題的關鍵是由已知和三角形中位線定理得出四邊形A₂B₂C₂D₂是菱形，得出四邊形A₂B₂C₂D₂的邊長．通過觀察計算找出規(guī)律推出A₁₀B₁₀C₁₀D₁₀也是菱形．

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（1）如圖3，當α=

度時，旋轉后的矩形落在弓形內的部分呈矩形，此時該矩形的周長是

；
（2）如圖2，當旋轉后的矩形落在弓形內的部分是直角梯形時，設A₂D₂、B₂C₂分別與AD相交于點為E、F，求證：A₂F=DF，AE=B₂E；
（3）在旋轉過程中，設旋轉后的矩形落在弓形AD內的部分為三角形、直角梯形、矩形時所對應的周長分別是c_l、c₂、c₃，圓O的半徑為R，當c₁+c₂+c₃=5R時，求c₁的值；
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（2）將圖1中的矩形OA₁B₁C₁沿射線OC向上平移，如圖2，矩形PA₂B₂C₂是平移過程中的某一位置，BC、A₂B₂相交于點M₁，點P運動到C點停止．設點P運動的距離為x，CM₁=y，求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍；
（3）如圖3，當點P運動到點C時，平移后的矩形為PA₃B₃C₃．請你思考如何通過使用最少圖形變換次數(shù)使矩形PA₃B₃C₃與原矩形OABC重合，請簡述你的做法．

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（1）求BB₁的長；
（2）如圖2，在矩形A₁B₁CD₁中按上述操作得到矩形A₂B₂CD₂，則BB₂的長為

；
（3）在矩形A₂B₂CD₂按上述操作得到矩形A₃B₃CD₃，則BB₃的長為

；
（4）一直按上述操作得到矩形A_nB_nCD_n，則BB_n的長為

．

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