已知:點P為線段AB上的動點(與A、B兩點不重合).在同一平面內(nèi),把線段AP、BP分別折成△CDP、△EFP,其中∠CDP=∠EFP=90°,且D、P、F三點共線,如圖所示.
(1)若△CDP、△EFP均為等腰三角形,且DF=2,求AB的長;
(2)若AB=12,tan∠C=,且以C、D、P為頂點的三角形和以E、F、P為頂點的三角形相似,求四邊形CDFE的面積的最小值.

【答案】分析:(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì),設(shè)DP=x,PF=y,得出CD=DP=x,EF=PF=y,PC=,PE=,進而得出x+y的值,求出AB即可;
(2)由于tan∠C=,且以C、D、P為頂點的三角形和以E、F、P為頂點的三角形相似,因此分兩種情況考慮,當(dāng)∠DCP=∠PEF時,當(dāng)∠DCP=∠EPF時,分別利用勾股定理求出m+n的值,即可得出四邊形CDFE的面積的最小值.
解答:解:(1)設(shè)DP=x,PF=y,
∵△CDP和△EFP都是等腰直角三角形,且∠CDP=∠EFP=90°,
∴CD=DP=x,EF=PF=y,PC=,PE=
∴AB=AP+PB=CD+DP+PC+PF+EF+PE
=x+x++y+y+
=(2+)(x+y),
∵DF=2,
∴x+y=2.
∴AB=(2+)×2=4+;

(2)連接CE.
由于tan∠C=,且以C、D、P為頂點的三角形和以E、F、P為頂點的三角形相似,因此分兩種情況考慮.
①當(dāng)∠DCP=∠PEF時,
設(shè)DP=4m,PF=4n,則CD=3m,EF=3n,
根據(jù)勾股定理,可得CP=5m,PE=5n.
∵AB=CD+PC+DP+PE+EF+PF=12(m+n)=12,
∴m+n=1,
∵S四邊形CDFE=(3m+3n)(4m+4n),
=6(m+n)2
=6,
當(dāng)∠DCP=∠EPF時,
設(shè)DP=4m,PF=3n,則CD=3m,EF=4n,
根據(jù)勾股定理,可得CP=5m,PE=5n.
∵AB=12(m+n)=12,
∴m+n=1.
∵m>0,n>0,
∴S四邊形CDFE=(3m+4n)(4m+3n)
==
=(12+mn)
=6+mn>6,
綜上所述,四邊形CDFE的面積的最小值為6.
點評:此題主要考查了相似形的綜合應(yīng)用以及勾股定理應(yīng)用,根據(jù)以C、D、P為頂點的三角形和以E、F、P為頂點的三角形相似進行分類討論得出是解題關(guān)鍵.
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(2)若AB=12,tan∠C=
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,且以C、D、P為頂點的三角形和以E、F、P為頂點的三角形相似,求四邊形CDFE的面積的最小值.
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