Question

若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有兩個實數根x₁，x₂，
（1）利用配方法求出求根公式；
（2）用求根公式求證：x₁+x₂=，x₁·x₂=；
（3）設方程x²-7x+3=0有兩個實數根x₁，x₂，利用（2）的結論，不解方程求：①x₁²+x₂²；
②。

Answer 1

解：（1）ax²+bx+c=0（a≠0）
∵a≠0，
∴兩邊同時除以a得：二次項系數化為“1”得：，
移項得：，
配方得：，
，
∵a≠0，
∴4a²＞0，
當b²-4ac≥0時，直接開平方得：，
∴x=，
∴x₁=，x₂=；
 （2）對于方程：ax²+bx+c=0（a≠0，且a，b，c是常數），
當△≥0時，利用求根公式，得x₁=，x₂=，
∵x₁+x₂=，
x₁x₂=，
∴x₁+x₂=，x₁·x₂=是正確的；
（3）方程x²-7x+3=0中，
∵a=，b=-7，c=3，
∴b²-4ac=49-6=43＞0，
則x₁+x₂=，
①x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=14²-2×6=196-12=184；
②。