Question

如圖，正方形ABCD中，E為BC上一點，過B作BG⊥AE于G，延長BG至點F使∠CFB=45°

（1）求證：AG=FG;

（2）延長FC、AE交于點M，連接DF、BM，若C為FM中點，BM=10，求FD的長.

 

Answer 1

【答案】

（1）通過證明AG="BH" ，BH=HF+GH=FG，則AG=FG （2）

【解析】

試題分析：（1）證明：過C點作CH⊥BF于H點

∵∠CFB=45°

∴CH=HF

∵∠ABG+∠BAG=90°，   ∠FBE+∠ABG=90°

∴∠BAG=∠FBE

∵AG⊥BF     CH⊥BF

∴∠AGB=∠BHC=90°

在△AGB和△BHC中

∵∠AGB=∠BHC，∠BAG=∠HBC，  AB=BC

∴△AGB≌△BHC

∴AG=BH，  BG=CH

∵BH=BG+GH

∴BH=HF+GH=FG

∴AG=FG

(2) ∵CH⊥GF∴CH∥GM∵C為FM的中點

∴CH=GM∴BG=GM∵BM=10

∴BG=，  GM=（1分）∴AG=   AB=10

∴HF=   ∴CF=×∴CM=

過B點作BK⊥CM于K

∵CK==，  ∴BK=

過D作DQ⊥MF交MF延長線于Q

∴△BKC≌△CQD

∴CQ=BK=

DQ=CK=∴QF=－=∴DF==

考點：三角形和正方形

點評：本題考查三角形和正方形的知識，解本題的關鍵是熟練掌握三角形和正方形的一些性質，此題難度較大