Question

如圖1，矩形MNPQ中，點E，F，G，H分別在NP，PQ，QM，MN上，若，則稱四邊形EFGH為矩形MNPQ的反射四邊形．圖2，圖3，圖4中，四邊形ABCD為矩形，且，．

理解與作圖：

（1）在圖2，圖3中，點E，F分別在BC，CD邊上，試利用正方形網(wǎng)格在圖上作出矩形ABCD的反射四邊形EFGH．

計算與猜想：

（2）求圖2，圖3中反射四邊形EFGH的周長，并猜想矩形ABCD的反射四邊形的周長是否為定值？

啟發(fā)與證明：

（3）如圖4，為了證明上述猜想，小華同學嘗試延長GF交BC的延長線于M，試利用小華同學給我們的啟發(fā)證明（2）中的猜想．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）（3）見解析

【解析】（1）作圖如下：························· 2分

 

 

（2）解：在圖2中，，

∴四邊形EFGH的周長為．······················ 3分

在圖3中，，．

∴四邊形EFGH的周長為．·············· 4分

猜想：矩形ABCD的反射四邊形的周長為定值．··············· 5分

（3）證法一：延長GH交CB的延長線于點N．

 

∵，，

∴．

而，

∴Rt△FCE≌Rt△FCM．

∴，．························ 6分

同理：，．

∴．··························· 7分

∵，，

∴．    ∴．···················· 8分

過點G作GK⊥BC于K，則．················ 9分

∴．

∴四邊形EFGH的周長為．·················· 10分

證法二：∵，，    ∴．

而，    ∴Rt△FCE≌Rt△FCM．

∴，．························ 6分

∵，，

而，   ∴．

∴HE∥GF．    同理：GH∥EF．

∴四邊形EFGH是平行四邊形．······················ 7分

∴．     而，

∴Rt△FDG≌Rt△HBE．     ∴．················· 8分

過點G作GK⊥BC于K，則．····· 9分

∴．

∴四邊形EFGH的周長為．  10分

（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，作出相等的角即可得到反射四邊形；

（2）圖2中，利用勾股定理求出EF=FG=GH=HE的長度，然后即可得到周長，圖3中利用勾股定理求出EF=GH，F(xiàn)G=HE的長度，然后求出周長，從而得到四邊形EFGH的周長是定值；

（3）證法一：延長GH交CB的延長線于點N，再利用“角邊角”證明Rt△FCE和Rt△FCM全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得EF=MF，EC=MC，同理求出NH=EH，NB=EB，從而得到MN=2BC，再證明GM=GN，過點G作GK⊥BC于K，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出MK=MN=8，再利用勾股定理求出GM的長度，然后即可求出四邊形EFGH的周長；

證法二：利用“角邊角”證明Rt△FCE和Rt△FCM全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得EF=MF，EC=MC，再根據(jù)角的關(guān)系推出∠M=∠HEB，根據(jù)同位角相等，兩直線平行可得HE∥GF，同理可證GH∥EF，所以四邊形EFGH是平行四邊形，過點G作GK⊥BC于K，根據(jù)邊的關(guān)系推出MK=BC，再利用勾股定理列式求出GM的長度，然后即可求出四邊形EFGH的周長．