Question

用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十個(gè)數(shù)字各一次，組成一個(gè)十位數(shù)．將這個(gè)十位數(shù)依次分成三段，每一段不少于3個(gè)數(shù)字．第一段的數(shù)分別能被1，2，3整除；第二段的數(shù)能分別被4，5，6整除；第三段的數(shù)能分別被7，8，9整除．那么第一段的數(shù)是多少？

Answer 1

分析：第一段的數(shù)分別能被1，2，3整除，所以這個(gè)數(shù)是1，2，3的最小公倍數(shù)6的倍數(shù)；同理，第二段的數(shù)分別能被4，5，6整除，所以這個(gè)數(shù)是60的倍數(shù)；第三段的數(shù)分別能被7，8，9整除，所以這個(gè)數(shù)是504的倍數(shù)． 其中60的倍數(shù)永遠(yuǎn)都有0，所以第二段的數(shù)中一定有0，則第三段的數(shù)中不能有0，即504的倍數(shù)不能只有1倍．按照每個(gè)數(shù)又只能用一次的原則，504的倍數(shù)只可能是3528或者4536或者9576，然后將第三段的數(shù)分三種情況討論，從而求出第二段與第一段的數(shù)．

解答：解：∵第一段的數(shù)分別能被1，2，3整除，∴這個(gè)數(shù)是6的倍數(shù)；
∵第二段的數(shù)分別能被4，5，6整除，∴這個(gè)數(shù)是60的倍數(shù)；
∵第三段的數(shù)分別能被7，8，9整除，∴這個(gè)數(shù)是504的倍數(shù)．
∵60的倍數(shù)永遠(yuǎn)都有0，∴504的倍數(shù)不能只有1倍，
又∵用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十個(gè)數(shù)字各一次，組成一個(gè)十位數(shù)，將這個(gè)十位數(shù)依次分成三段，每一段不少于3個(gè)數(shù)字，
∴504的倍數(shù)只可能是4536或者3528，即第三段的數(shù)只能為3528或者4536或者9576．
分三種情況：
①如果第三段的數(shù)為3528時(shí)，
第二段的數(shù)為960，此時(shí)第一段的數(shù)為174或714；
②如果第三段的數(shù)為4536時(shí)，
第二段的數(shù)可以為120，此時(shí)第一段的數(shù)為798或978；
或者第二段的數(shù)可以為180，此時(shí)第一段的數(shù)為792或972；
或者第二段的數(shù)可以為720，此時(shí)第一段的數(shù)為198或918；
或者第二段的數(shù)可以為780，此時(shí)第一段的數(shù)為192或912；
③如果第三段的數(shù)為9576時(shí)，
第二段的數(shù)可以為120，此時(shí)第一段的數(shù)為384或834；
或者第二段的數(shù)可以為180，此時(shí)第一段的數(shù)為234或324；
或者第二段的數(shù)可以為240，此時(shí)第一段的數(shù)為138或318；
或者第二段的數(shù)可以為420，此時(shí)第一段的數(shù)為138或318；
或者第二段的數(shù)可以為480，此時(shí)第一段的數(shù)為132或312；
或者第二段的數(shù)可以為840，此時(shí)第一段的數(shù)為132或312．
綜上可知，第一段的數(shù)可以是174或714或798或978或792或972或198或918或192或912或384或834或234或324或138或318或132或312．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了約數(shù)與倍數(shù)，分類討論思想，屬于競(jìng)賽題型，有一定難度．根據(jù)公倍數(shù)的原理求出第一、二、三段的數(shù)分別是6、60、504的倍數(shù)，進(jìn)而結(jié)合已知條件確定第三段的數(shù)只能為3528或者4536或者9576是解題的關(guān)鍵．