Question

方程6（6a²+3b²+c²）=5n²的所有整數(shù)解是______．

Answer 1

顯然，a=b=c=n=0是方程6（6a²+3b²+c²）=5n²（1）的一組解．
為求（1）的整數(shù)解，只須求出它的正整數(shù)解即可，而對(duì)于正整數(shù)解，只要求出a，b，c，n互質(zhì)的解即可，為此設(shè)（a，b，c，n）=1．
由方程（1）可知，6是5n²的約數(shù)，
因?yàn)?與5互質(zhì)，所以6是n²的約數(shù)，從而6是n的約數(shù)，進(jìn)一步5n²有約數(shù)36，
因此6又是6a²+3b²+c²的約數(shù)，即6是3b²+c²的約數(shù)，
所以3是c²的約數(shù)，
故可設(shè)n=6m，c=3d，
代入（1）得
2a²+b²+3d²=10m²（2）
b²+3d²=10m²-2a²
所以b和d具有相同的奇偶性．
①若b和d同為奇數(shù)，考察用8除以（2）式兩邊所得的余數(shù)：
式（2）左邊被8除的余數(shù)為2+1+3=6或0+1+3+4；
式（2）右邊被8除的余數(shù)為0或2．
此時(shí)方程（2）無解，從而方程（1）無解．
②若b和d同為偶數(shù)，由a，b，d，n互質(zhì)可知，a為奇數(shù)，
（2）式左邊被8除的余數(shù)為2+（0或4）+（0或3）≠8，
所以（2）的左邊不能被8整除，從而（2）的右邊10m²不能被8整除，m一定為奇數(shù)；
這樣可設(shè)a=2a₁-1，b=2b₁，d=2d₁，m=2m₁-1，
其中a₁，b₁，d₁，m₁都是正整數(shù)，則方程（2）化為2a₁（a₁-1）-10m₁（m₁-1）-2=-（b₁²+3d₁²），
10m₁（m₁-1）-2a₁（a₁-1）+2=b₁²+3d₁²（3）
由于m₁（m₁-1）及a₁（a₁-1）為偶數(shù)，
則（3）式左邊為偶數(shù)，且被4除余2，而右邊b₁和d₁不能同為偶數(shù)，
否則（3）式右邊能被（4）整除，（3）式不能成立，
然而b₁和d₁同為奇偶時(shí)，（3）式右邊仍能被4整除，（3）式不能成立，
于是，方程（2）無解，從而方程（1）無解．
綜上討論知，方程只有一組解a=b=c=m=0．