Question

如圖，正方形ABCD內(nèi)有兩條相交線段EF，GH，E，F(xiàn)，G，H分別在邊AD，CB，DC，BA上，小明認(rèn)為：若EF=GH，則EF⊥GH；小穎認(rèn)為若EF⊥GH，則EF=GH．你認(rèn)為

1. A.
   僅小明對(duì)
2. B.
   僅小穎對(duì)
3. C.
   兩人都對(duì)
4. D.
   兩人都不對(duì)

Answer 1

C
分析：（1）根據(jù)EF=GH，利用HL定理證明Rt△FEN≌Rt△HGM，即可得出答案；
（2）可通過(guò)構(gòu)建與已知條件相關(guān)的三角形來(lái)求解．作AW∥EF交BC于MW，作BQ∥GH交CD于NQ，那么AW=EF，BQ=GH，再證得△ABW、△BQC全等，那么AW=BQ，即EF=GH；
解答：解：（1）作HM⊥DC，F(xiàn)N⊥AD，
∵在正方形ABCD中，HM⊥DC，F(xiàn)N⊥AD，
∴FN=HM，F(xiàn)N∥DC，
∴∠HYR=90°，
∵EF=GH，
∴Rt△FEN≌Rt△HGM，（HL）
∴∠RHY=∠TFR，
∵∠HYR=∠HRY+∠RHY=90°，
∴∠HRY+∠TFR=∠RTF=90°，
∴EF⊥GH．
（2）作AW∥EF交BC于MW，作BQ∥GH交CD于NQ，
∵EF⊥GH，
∴BQ⊥EF，
∴∠NBF+∠BFN=90°，
∵∠NBF+∠BQC=90°．
∴∠NFB=∠BQC，
∵∠AWB=∠NFB，
∴∠AWB=∠BQC，
∵∠ABW=∠QCB=90°，AB=BC，
∴△ABW≌△BQC（AAS）
∴AW=BQ，
∵AW∥EF，BQ∥GH，AD∥BC，AB∥CD，
∴EF=HG．
故兩人所說(shuō)都對(duì)．
故選：C．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，都是通過(guò)構(gòu)建與已知和所求的條件相關(guān)的三角形，然后證明其全等來(lái)得出線段間的相等或垂直，此題綜合性較強(qiáng)．