如圖,已知CA、CB都經過點C,AC是⊙B的切線,⊙B交AB于點D,連接CD并延長交OA于點E,連接AF.
(1)求證:AE⊥AB;
(2)求證:DE•DC=2AD•DB;
(3)如果AE=3,BD=4,求DC的長.

【答案】分析:(1)根據切線的性質知:∠ACB=90°,由AC=AE,可得∠AEC=∠ACE,由BC=BD,可知∠BCD=∠BDC,再根據∠BDC=∠ADE,可得AE⊥AB;
(2)根據△ADE∽△FDB可得出DE•DC=2AD•DB;
(3)在Rt△ABC中,根據勾股定理可將AD的長求出,代入第二個小題的結論,可得出DC的長.
解答:(1)證明:∵AC是⊙B的切線,
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°.
∵BC=BD,
∴∠BCD=∠BDC.
∴∠ACD+∠BDC=90°.
∵AC=AE,
∴∠ACD=∠AED.
∵∠ADE=∠BCD,
∴∠AED+∠ADE=90°.
∴∠EAD=90°.
即AE⊥AB.

(2)證明:過點B作BF⊥CD于點F,
∵∠ADE=∠BDF,∠EAD=∠BFD,
∴△ADE∽△FDB.
=
即DE•FD=AD•DB.
∵DC=2FD,
∴DE•DC=2AD•DB.

(3)解:∵AE=3,BD=4,
在Rt△ABC中,
(AD+BD)2=AC2+BC2
即(AD+4)2=32+42解得AD=1,
∴DE===
∵DE•DC=2AD•DB,
×DC=2×1×4,
∴DC=
點評:本題主要考查切線的性質及相似三角形的判定和應用.
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