Question

△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，關于x的方程x²-2ax+b²=0的兩根為x₁、x₂，x軸上兩點M、N的坐標分別為（x₁，0）、（x₂，0），其中M的坐標是（a+c，0）；P是y軸上一點，點D（a，-c²）．
（1）試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（2）若S_△MNP=3S_△NOP，
①求sinB的值；
②判斷△ABC的三邊長能否取一組適當?shù)闹担�使△MND是等腰直角三角形？如能，請求出這組值；如不能，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵關于x的方程x²-2ax+b²=0的兩根為x₁、x₂，
∴x₁+x₂=2a，①，
x₁•x₂=b²，②，
∵點M（a+c，0）
∴（a+c）²-2a（a+c）+b²=0（1分）
∴a²+2ac+c²-2a²-2ac+b²=0，
∴b²+c²=a²．（1分）
由勾股定理的逆定理得：△ABC為直角三角形且∠A=90°；（1分）

（2）①如圖所示；
∵S_△MNP=3S_△NOP
∴MN=3ON即MO=4ON（1分）
又M（a+c，0），
∴N(

a+c

4

，0)
∴a+c，

a+c

4

是方程x²-2ax+b²=0的兩根
∴(a+c)+

a+c

4

=2a，
∴c=

3

5

a（1分）
由（1）知：在△ABC中，∠A=90°
由勾股定理得b=

4

5

a，
∴sinB=

b

a

=

4

5

（1分）
②能．理由如下：（1分）
過D作DE⊥x軸于點E則NE=EM，DN=DM，
要使△MND為等腰直角三角形，只須ED=

1

2

MN=EM
∵M（a+c，0），D（a，-c²），
∴DE=c²，
EM=c
∴c²=c，
又c＞0，
∴c=1（1分）
由于c=

3

5

ab=

4

5

a，
∴a=

5

3

，b=

4

3

，（1分）
∴當a=

5

3

，b=

4

3

，c=1時，△MNP為等腰直角三角形．（1分）