Question

【題目】 如圖，是矩形的邊上的一點(diǎn)，AC是其對(duì)角線，連接AE，過(guò)點(diǎn)E作交于點(diǎn), 交DC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)G，交AE于點(diǎn)H．

（1）求證：∽；

（2）求證：；

（3）若E是BC的中點(diǎn)，，，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）.

【解析】

（1）先利用等角的余角相等證明∠BAE=∠CEF，進(jìn)一步即可證得結(jié)論；

（2）先利用等角的余角相等證明∠ABG=∠ACB，進(jìn)而可證明△ABH∽△ECM，再利用相似三角形的性質(zhì)即可證得結(jié)論；

（3）由（1）利用相似三角形的性質(zhì)可求出CF的長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理可求出EF的長(zhǎng)，延長(zhǎng)FE交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，易證△NBE≌△FCE，于是NB=FC，NE=FE，由CF∥AN可得△CMF∽△AMN，然后利用相似三角形的性質(zhì)可求出FM的長(zhǎng)，進(jìn)一步即可求出結(jié)果.

解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABC=∠BCD=90°，

∴∠BAE+∠AEB=90°，

∵，∴∠AEB+∠CEF=90°，

∴∠BAE=∠CEF，

∴∽；

（2）證明：∵，∴∠BAG+∠ABG=90°，

又∵∠BAC+∠ACB=90°，∴∠ABG=∠ACB，

∵∠BAH=∠ECM，

∴△ABH∽△ECM，

∴，

即；

（3）∵，，∴BC=8，∵E是BC的中點(diǎn)，∴BE=CE=4，

由（1）知∽，則，即，解得：，

則在Rt△CEF中，，

延長(zhǎng)FE交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，

∵∠NBE=∠FCE=90°，BE=CE，∠NEB=∠FEC，

∴△NBE≌△FCE，∴NB=FC，NE=FE，

∵CF∥AN，∴△CMF∽△AMN，∴，

∴，

∴.