Question

已知關(guān)于x的方程mx²+（3-2m）x+（m-3）=0，其中m＞0．
（1）求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x₁，x₂，其中x₁＞x₂，若y=

x2-1

3x1

，求y與m的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，請根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出使不等式y(tǒng)≤-m成立的m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）本題需先求出△的值，再證出△＞0，即可得出結(jié)論．
（2）本題需先求出x的值，再代入y與x的關(guān)系式即可得出結(jié)果．
（3）本題需先分別畫出反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的圖象，再根據(jù)圖象即可求出使不等式y(tǒng)≤-m成立的m的取值范圍．

解答：（1）證明：由題意可知，∵△=（3-2m）²-4m（m-3）=9＞0，
即△＞0．
∴方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

（2）解：由求根公式，得x=

-(3-2m)±3

2m

．
∴x=1-

3

m

或x=1．
∵m＞0，
∴1＞1-

3

m

．
∵x₁＞x₂，
∴x1=1，x2=1-

3

m

．
∴y=

x2-1

3x1

=-

1

m

．
即y=-

1

m

  (m＞0)為所求．

（3）解：在同一平面直角坐標(biāo)系中
分別畫出y=-

1

m

  (m＞0)
與y=-m（m＞0）的圖象．
由圖象可得，由圖象可得
當(dāng)0＜m≤1時(shí)，y≤-m．

點(diǎn)評：本題主要考查了一元二次方程的根的判別式，在解題時(shí)要注意綜合應(yīng)用根的判別式與反比例函數(shù)的關(guān)系式本題的關(guān)鍵．