Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，點(diǎn)O是斜邊AB的中點(diǎn)，將邊長(zhǎng)足夠大的三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，將三角板繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α（0°＜α＜90°），記三角板的兩直角邊與Rt△ABC的兩腰AC、BC的交點(diǎn)分別為E、D，四邊形CEOD是旋轉(zhuǎn)過程中三角板與△ABC的重疊部分（如圖①所示）.那么，在上述旋轉(zhuǎn)過程中：

（1）線段CE與BD具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？四邊形CEOD的面積是否發(fā)生變化？證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；

（2）當(dāng)三角尺旋轉(zhuǎn)角度為____________時(shí)，四邊形CEOD是矩形；

（3）若三角尺繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度α（90°＜α＜180°）時(shí)，三角尺的兩邊與等腰Rt△ABC的腰CB和AC的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)D、E（如圖②所示）. 那么線段CE與BD的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？若成立，給予證明；若不成立，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

【答案】（1）結(jié)論：CE=BD，四邊形CEOD的面積不變，理由見解析；（2）45°；（3）成立，證明見解析

【解析】

（1）連接OC，易證得，根據(jù)即可證得結(jié)論；

（2）若四邊形CEOD是矩形，則，通過計(jì)算可求得旋轉(zhuǎn)角度α；

（3）證得∠OCE=∠OBD=135°和∠BOD=∠COE，易證得△OCE≌△OBD，從而證得結(jié)論.

（1）解：結(jié)論：CE=BD，四邊形CEOD的面積不變.

如圖，連接OC．

∵AC=BC，AO=BO，∠ACB=90°，

∴∠ACO=∠BCO=∠ACB=45°，OC⊥AB，∠A=∠B=45°，

∴OC=OB，

∵∠EOD=90°，

∴∠COE+∠COD=90°

又∵OC⊥AB，

∴∠BOD+∠COD=90°，

∴∠BOD=∠COE，

在△OCE和△OBD中，，

∴△OCE≌△OBD，

∴CE=BD，

∴,

∵.

∴ 四邊形的面積不變，始終等于面積的一半.

（2）如下圖，

四邊形CEOD是矩形，

∴，

∵，

∴，

故答案為：；

（3）如圖，連接OC．

∵AC=BC，AO=BO，∠ACB=90°，

∴∠ACO=∠BCO=∠ACB=45°，OC⊥AB，∠A=∠B=45°，

∴OC=OB，∠OCE=∠OBD=135°

∵∠EOD=90°，

∴∠BOD+∠BOE=90°，

又∵OC⊥AB

∠COE+∠BOE=90°，

∴∠BOD=∠COE，

在△OCE和△OBD中，

∴△OCE≌△OBD，

∴CE=BD.